Существенное многообразие

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.^[1]

Определение

${\displaystyle n}$-мерное замкнутое многообразие ${\displaystyle M}$ называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство ${\displaystyle K}$ и непрерывное отображение ${\displaystyle M\to K}$ которое переводит фундаментальный калсс ${\displaystyle M}$ в ненулевой класс гомологий ${\displaystyle K}$.

Иначе говоря, фундаментальный класс ${\displaystyle [M]}$ определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$. Точнее, если ${\displaystyle N}$ есть ${\displaystyle K(\pi _{1}(M),1)}$ пространство, то отображение ${\displaystyle M\to N}$ индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

${\displaystyle H_{n}(M)\to H_{n}(N).}$

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т. е. 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².
• Вещественное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ является существенным, поскольку включение

  ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\to \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }}$

является инъективным в гомологиях и

${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)}$

— это K(π,1)-пространство конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является K(G,1) пространством).
  • В частности, все компактные гиперболические многообразия^[англ.] являются существенными.
• Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

• Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
• Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
  • Это свойство является первопричиной введения этого определения.

Примечания

1. Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.