Теорема Адамара — Картана

Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.

История

Для поверхностей в евклидовом пространстве теорема была доказана Гансом фон Мангольдтом в 1881 году^[1], и независимо Жаком Адамаром в 1898 году^[2]. Общий случай был доказан Эли Картаном в 1928 году^[3].

Обобщения на метрические пространства в разной общности были получены Гербертом Буземаном^[4][5] и Вилли Риновом^[6], Михаилом Громовым^[7], а также Стефани Александер и Ричардом Бишопом^[8].

Формулировка

Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству. Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.

Вариации и обобщения

• Теорема обобщается на гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение является универсальным накрытием. При этом полнота понимается в том смысле, что экспоненциальный отображение определено на всём касательном пространстве к точке.

• Теорема Картана — Адамара для метрических пространств: метрическое пространство Х с неположительной кривизной в смысле Александрова является CAT(0)-пространством.
  • В частности, если X односвязно, то любые две точки в нём соединяются единственной геодезической, а значит, X является стягиваемым.

Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено^[8]. Назовём метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических a(t) и b(t) функция

${\displaystyle t\mapsto d(a(t),b(t))}$

является выпуклой функцией от t. Метрическое пространство называется локально выпуклым, если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле. Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом:

• Если X является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное накрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к индуцированной внутренней метрике.
  • В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо.

• Вариант теоремы для дельта-гиперболических пространств был доказан М. Л. Громовым.^[7]

Примечания

1. Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (нем.) // J. Reine Angew. Math.. — 1881. — Bd. 91. — S. 23–53.
2. Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1898. — Vol. 26. — P. 195-216. Архивировано 3 июня 2018 года.
3. Cartan, Élie. Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1928. — vi+273 p.
4. Busemann, H. Spaces with non-positive curvature. Acta Mathematica 80 (1948), 259--310.
5. Буземан Г. Геометрия геодезических. — 1962.
6. Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
7. Gromov, M. Hyperbolic groups. Essays in group theory. (англ.) // Math. Sci. Res. Inst. Publ.. — New York: Springer, 1987. — Vol. 8. — P. 75–263.
8. S. B. Alexander, R. L. Bishop. The Hadamard—Cartan theorem in locally convex metric spaces // Enseign. Math. (2). — 1990. — Т. 36, вып. 3—4. — С. 309—320.