Теорема Гирсанова

Теорема Гирсанова (иногда Теорема CMG по фамилиям авторов — Cameron^[англ.], Martin^[англ.], Girsanov) — применяемая в стохастической финансовой математике теорема, позволяющая определить изменение стохастического дифференциального уравнения, описывающего некоторый процесс, при изменении вероятностной меры, в которой этот процесс представляется. Теорема также определяет конкретный вид так называемого процесса плотности, связанного с производной Радона — Никодима — производной одной меры по другой. При замене вероятностной меры изменяется трендовая составляющая процессов, а «стохастическая» часть («волатильность») остается неизменной.

Результаты такого рода были впервые доказаны Кэмероном и Мартином в 1940-х годах и И. В. Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Э. Ланглара, полученная в 1977 году.

Базовая формулировка теоремы

Одномерный случай

Пусть ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс в данной мере ${\displaystyle \mathbb {P} }$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

${\displaystyle dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt}$

является винеровским процессом в мере ${\displaystyle \mathbb {P^{*}} }$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности ${\displaystyle z_{t}={\mathbb {E} }_{t}^{\mathbb {P} }\left({d\mathbb {P^{*}} \over d\mathbb {P} }\right)}$ следующего вида (в дифференциальной форме):

${\displaystyle dz_{t}=-z_{t}{\lambda }_{t}dW_{t}}$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента или экспонента Долеан-Дейд^[англ.]):

${\displaystyle z_{t}=e^{-1/2{\int }_{0}^{t}{\lambda }_{s}^{2}ds-\int _{0}^{t}{\lambda }_{s}dW_{s}}={\mathcal {E}}(-\int _{0}^{t}{\lambda }_{s}dW_{s})}$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова^[англ.]:

${\displaystyle \mathbb {E} \left(e^{1/2{\int }_{0}^{t}{\lambda }_{s}^{2}ds}\right)<\infty }$

Многомерный случай

Пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{t}}$ — вектор независимых винеровских процессов в данной мере ${\displaystyle \mathbb {P} }$. Тогда процесс (в дифференциальной форме)

${\displaystyle d{\boldsymbol {W}}_{t}^{*}=d{\boldsymbol {W}}_{t}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}dt}$

является винеровским процессом в мере ${\displaystyle \mathbb {P^{*}} }$, эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности ${\displaystyle z_{t}={\mathbb {E} }_{t}^{\mathbb {P} }\left({d\mathbb {P^{*}} \over d\mathbb {P} }\right)}$ следующего вида (в дифференциальной форме):

${\displaystyle dz_{t}=-z_{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{t}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{t}}$

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента):

${\displaystyle z_{t}=e^{-1/2{\int }_{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}ds-\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{s}}={\mathcal {E}}(-\int _{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}d{\boldsymbol {W}}_{s})}$

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:

${\displaystyle \mathbb {E} \left(e^{1/2{\int }_{0}^{t}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}_{s}ds}\right)<\infty }$

Следствие для стохастических процессов общего вида

Пусть в данной мере задан стохастический процесс ${\displaystyle X_{t}}$ следующего вида (в дифференциальной форме):

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$

где ${\displaystyle \mu }$ — некоторая функция, определяющая трендовую (дрифт) составляющую процесса. Тогда при замене вероятностной меры данный процесс можно записать с помощью другой функции для трендовой составляющей ${\displaystyle \mu ^{*}(x)}$ следующим образом:

${\displaystyle dX_{t}=\mu ^{*}(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}^{*}}$

где процесс ${\displaystyle W_{t}^{*}}$, является винеровским процессом в новой мере и определяется как указано в исходной формулировке теоремы Гирсанова: ${\displaystyle dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt}$, где

${\displaystyle \lambda _{t}={\mu ^{*}(X_{t})-\mu (X_{t}) \over \sigma (X_{t})}}$

Процесс плотности для соответствующих мер определяется аналогично исходной формулировке теоремы с учетом данного обозначения.

Если исходно начинать с некоторого процесса ${\displaystyle \lambda _{t}}$, то по существу преобразование исходного стохастического дифференциального представления процесса ${\displaystyle X_{t}}$ имеет вид:

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}=(\mu (X_{t})-\sigma (X_{t})\lambda _{t})dt+\sigma (X_{t})(dW_{t}+\lambda _{t}dt)}$

Для того, чтобы данная запись была стандартной дифференциальной записью стохастического процесса необходимо чтобы процесс ${\displaystyle W_{t}^{*}}$, определенный в дифференциальной форме как ${\displaystyle dW_{t}^{*}=dW_{t}+\lambda _{t}dt}$ был винеровским процессом. Теорема Гирсанова утверждает, что такой процесс является винеровским в другой вероятностной мере (эквивалентной исходной), заданной процессом плотности вышеуказанного вида.

Пример замены меры

См. также

• Замена вероятностной меры
• Риск-нейтральная мера
• Форвардная мера
• Теорема Кэмерона — Мартина^[англ.]