Теорема Гробмана — Хартмана

В теории динамических систем, теорема Гробмана — Хартмана утверждает, что в окрестности гиперболической неподвижной точки поведение динамической системы с точностью до непрерывной замены координат совпадает с поведением её линеаризации. Названа в честь советского математика Д. М. Гробмана^[1] и американского математика Ф. Хартмана, получившим этот результат независимо друг от друга.

Формулировка

Теорема. Пусть p — гиперболическая неподвижная точка диффеоморфизма ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — линейная часть отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle p}$, записанная в локальных координатах. Тогда найдутся окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle V}$ точки 0 и гомеоморфизм ${\displaystyle h:(U\cup f(U))\to (V\cup L(V)),}$ что ${\displaystyle h\circ f=L\circ h}$ на ${\displaystyle U}$.

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 265. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• Д. Гробман, Гомеоморфизм систем дифференциальных уравнений, ДАН СССР 128 (1959), no. 5, с. 880–881.
• P. Hartman, A lemma in the theory of structural stability of differential equations. Proc. A.M.S. 11 (1960), no. 4, pp. 610–620.
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140

Примечания

1. Страница на портале www.mathnet.ru  (неопр.). Дата обращения: 8 мая 2018. Архивировано 8 мая 2018 года.