Теорема Громова о группах полиномиального роста

Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все конечнопорождённые группы полиномиального роста почти нильпотентны, то есть, обладают нильпотентной подгруппой конечного индекса.

Теорема доказана Громовым в 1981^[1]. В той же статье вводится так называемая сходимость по Громову — Хаусдорфу. Доказательство существенно использует так называемую альтернативу Титса.

Вариации и обобщения

• Теорема остаётся верной если степень роста группы ${\displaystyle O(n^{(\log \log n)^{c}})}$.^[2]

• Если для группы ${\displaystyle G}$ существует многочлен ${\displaystyle P}$ такой, что для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ существует система образующих ${\displaystyle S=S^{-1}}$ такая, что

  ${\displaystyle |S^{n}|\leqslant P(n)\cdot |S|,}$

тогда ${\displaystyle G}$ почти нильпотентна и в чаcтности имеет полиномиальный рост.^[3]

Литература

1. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.
2. Yehuda Shalom, Terence Tao, A finitary version of Gromov’s polynomial growth theorem Архивная копия от 16 декабря 2018 на Wayback Machine
3. Emmanuel Breuillard, Ben Green, Terence Tao, The structure of approximate groups. Архивная копия от 16 декабря 2018 на Wayback Machine