Теорема Дуба об остановке

Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидание мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.

Терема является важным инструментом финансовой математики. Названа в честь Джозефа Дуба — американского специалиста по теории вероятностей .

Формулировка

Ниже приведена версия теоремы для дискретного времени. Пусть ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ обозначает множество натуральных целых чисел.

Пусть ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$ — мартингал с дискретным временем, а τ — время остановки со значениями в ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$ относительно фильтрации (F_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}. Предположим, что выполняется одно из следующих трех условий:

( a ) Время остановки τ почти наверняка ограничено, то есть существует константа c ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ такой, что τ ≤ c почти наверняка

( b ) Время остановки τ имеет конечное матожидание, а условные математические ожидания абсолютного значения приращений мартингала почти наверняка ограничены, точнее, ${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$ и существует константа c такая, что ${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$ почти наверное на событии {τ > t } для всех t ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀ .

( c ) Существует константа c такая, что |X_t∧τ| ≤ c для всех t ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀, где ∧ обозначает минимальный оператор .

Тогда X_τ — почти хорошо определенная случайная величина и ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Замечания

Аналогично, если стохастический процесс X = (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0} является субмартингалом или супермартингалом и выполняется одно из вышеуказанных условий, тогда

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для субмартингала и

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для супермартингейла.

Примеры

Мартингалы применяются в моделировании выйгрыша в честной игре, и теорема в частности говорит, что в среднем нельзя выиграть, остановив игру на основе информации, доступной на данный момент.

• Предположим, что игрок может поставить до 1 рублю на честное подбрасывание монеты в моменты 1, 2, 3 и т. д., выигрывая свою ставку, если выпадет орёл, и проигрывая, если выпадет решка. Предположим, что он решил выйти из игры после выпадания десяти орлов подряд. Тогда его средний выйгрыш будет равен нулю.

• Необходимо позаботиться о том, чтобы одно из условий теоремы выполнялось. Например, предположим, что в рассмотренном примере остановка происходила только при выйгрыше 1 рубля. Значение X в этот момент остановки будет, следовательно, 1. Следовательно, ожидаемое значение E[X_τ] также должно быть 1, что, по-видимому, противоречит теореме, которая дала бы E[X_τ] = 0. Невыполнение теоремы показывает, что ни одно из трёх условий не выполняется.