Теорема Колмогорова о трёх рядах

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Определения

Пусть ${\displaystyle c}$ — некоторая константа. Тогда

${\displaystyle \xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}}$

${\displaystyle I}$ — индикатор на множестве значений случайной величины.

Формулировка теоремы

Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда ${\displaystyle \sum \xi }$ необходимо, чтобы для любого ${\displaystyle c>0}$ сходились ряды

${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},}$

${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c},}$

${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)}$

и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором ${\displaystyle c>0}$.

Доказательство

Достаточность

По теореме о двух рядах ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c}}$ сходится с вероятностью единица. Но если ${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица ${\displaystyle \sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$, а значит, ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c}}$ для всех ${\displaystyle n}$, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд ${\displaystyle \sum \xi }$ также сходится.

Необходимость

Если ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ сходится, то ${\displaystyle \xi _{n}\rightarrow 0}$ и, значит, для всякого ${\displaystyle c>0}$ может произойти не более конечного числа событий ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c}}$. Поэтому ${\displaystyle \sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$ и по второй части леммы Бореля — Кантелли ${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty }$. Далее, из сходимости ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ следует и сходимость ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c}}$. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов ${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}}$ и ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c}}$ сходится.

Следствие

Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ — независимые случайные величины с ${\displaystyle \mathbb {E} \xi _{n}=0}$. Тогда, если

${\displaystyle \sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ сходится с вероятностью единица.

Пример

В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}}$

где «${\displaystyle \pm }$» означает, что знак каждого члена ${\displaystyle 1/n}$ выбран случайно, независимо, и с вероятностями ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle 1/2}$. Выбрав в качестве ${\displaystyle \xi _{n}}$ ряд, членами которого являются ${\displaystyle 1/n}$ и ${\displaystyle -1/n}$ с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},}$

расходится с вероятностью единица, так как ряд ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c}}$ расходится.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)

Ссылки

• Sun, Rongfeng. Lecture notes  (неопр.). Дата обращения: 22 сентября 2015. Архивировано из оригинала 17 апреля 2018 года.