Теорема Майерса

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

Формулировка

Если кривизна Риччи полного ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ ограничена снизу положительной величиной ${\displaystyle (n-1)k}$ при некотором ${\displaystyle k}$, то его диаметр не превосходит ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$. Более того, если диаметр равен ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$.

Следствия

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия ${\displaystyle M}$. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle M}$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}M}$ конечна.

История

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым^[1].

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны^[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Майерсом^{[англ.][3]}.

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году^[4].

См. также

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Примечания

1. Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225.
2. Bonnet, Ossian. "Sur quelques propriétés des lignes géodésiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
3. Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Mathematical Journal, 8 (2): 401–404, doi:10.1215/S0012-7094-41-00832-3
4. Cheng, Shiu Yuen (1975), Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications, Mathematische Zeitschrift, 143 (3): 289–297, doi:10.1007/BF01214381, ISSN 0025-5874, MR 0378001