Теорема Сарда

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.^[1]

Названа в честь американского математика Артура Сарда^[англ.].^[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда,^[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)^[4] и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат)^[5].

Формулировка

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое множество в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ — гладкая функция класса ${\displaystyle C^{k},}$ где число ${\displaystyle k\geqslant 1.}$ Пусть ${\displaystyle S\subset U}$ — множество критических точек функции ${\displaystyle f.}$ Если ${\displaystyle k\geqslant m-n+1,}$ то множество критических значений ${\displaystyle f(S)}$ является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Замечания

Как показал Х. Уитни, степень гладкости ${\displaystyle k}$ здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n.}$^{[6] [7]}

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию ${\displaystyle f\equiv f_{0}.}$ Все точки её области определения ${\displaystyle U}$ являются критическими, следовательно, ${\displaystyle S=U.}$ Однако множество критических значений ${\displaystyle f(S)}$ состоит из единственной точки ${\displaystyle f_{0}}$, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Мера множества критических значений ${\displaystyle C^{1}}$-гладкой функции ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}}$ равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок ${\displaystyle [a,b]=[0,1].}$ Выберем число ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и разобьём отрезок ${\displaystyle [0,1]}$ на ${\displaystyle n}$ равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной ${\displaystyle f'}$ не превосходило ${\displaystyle \varepsilon .}$ Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция ${\displaystyle f'}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f'(x_{1})-f'(x_{2})|<\varepsilon .}$

Обозначим через ${\displaystyle \Delta _{i}}$ те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции ${\displaystyle f,}$ т. е. ${\displaystyle \exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.}$ Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка ${\displaystyle |f'(x)|\leqslant \varepsilon }$ для всех ${\displaystyle x\in \Delta _{i}}$, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})}$ выполнено неравенство ${\displaystyle |y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \varepsilon /n.}$

Покроем каждое множество ${\displaystyle f(\Delta _{i})}$ интервалом длины ${\displaystyle 2{\cdot }\varepsilon /n,}$ тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит ${\displaystyle 2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .}$ В силу произвольности выбора числа ${\displaystyle \varepsilon }$ это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть ${\displaystyle M^{m}}$ и ${\displaystyle N^{n}}$ — два гладких многообразия положительных размерностей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle f:M^{m}\to N^{n}}$ — гладкая функция класса ${\displaystyle C^{k},}$ где ${\displaystyle k\geqslant 1.}$ Точка ${\displaystyle x\in M^{m}}$ называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции ${\displaystyle f}$ в ней меньше ${\displaystyle n.}$ Точка ${\displaystyle y\in N^{n}}$ называется неправильной, если ${\displaystyle y=f(x)}$ хотя бы для одной неправильной точки ${\displaystyle x\in M^{m}}$. В случае ${\displaystyle m\geqslant n}$ понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае ${\displaystyle m<n}$ все точки многообразия ${\displaystyle M^{m}}$ являются неправильными.

Если число ${\displaystyle k\geqslant m-n+1,}$ то множество неправильных точек отображения ${\displaystyle f}$ в многообразии ${\displaystyle N^{n}}$ имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в ${\displaystyle N^{n}.}$

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким^[8][9][10].

Другие аналоги

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом^[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в^[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в^[13].

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Иванов С. В. Некоторые геометрические неравенства и теоремы жесткости. Лекция 2
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
• Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
• Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.

Примечания

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
2. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.  (неопр.) Дата обращения: 7 мая 2010. Архивировано 12 октября 2012 года.
3. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
4. Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
5. Sternberg S. Lectures on differential geometry.
6. Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
7. Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
8. Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
9. Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
10. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
11. Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
12. Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
13. Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для ${\displaystyle C^{1}}$-гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.