Теорема Фенхеля о повороте кривой

Теорема Фенхеля утверждает, что вариация поворота любой замкнутой кривой не меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ и равенство достигается только в случае выпуклой плоской кривой. В частности, средняя кривизна замкнутой кривой длины ${\displaystyle \ell }$ не может быть меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi /\ell }$.

Теорема доказана Вернером Фенхелем.^[1]

О доказательстве

Обычно доказательство строится на утверждении, что сферическая кривая длины меньше чем ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ лежит в открытой полусфере. Это утверждение можно доказать например применением формулы Крофтона, но известны и более элементарные доказательства.

Остаётся заметить что кривая образованная единичными касательными векторами (касательная индикатриса) к исходной кривой не может лежать в открытой полусфере. Значит её длина не меньше ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$, длина же этой кривой совпадает с интегралом кривизны.

Вариации и обобщения

• Лемма Решетняка о хорде. Если регулярная гладкая ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ подходит к своей хорде ${\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}$ под углами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, то поворот кривой ${\displaystyle \gamma }$ хотя бы ${\displaystyle \alpha +\beta }$.
  • Это утверждение легко следует из теоремы Фенхеля, но зачастую его удобней использовать. Например сама теорема Фенхеля следует если применить лемму к разбиению замкнутой кривой на две дуги.

• Теорема Фари — Милнора

• Теорема о повороте плоской кривой

Примечания

1. W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (недоступная ссылка), Mathematische Annalen 101: 238—252.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.