Теорема Фишера — Типпета — Гнеденко

В статистике теорема Фишера — Типпета — Гнеденко (также теорема Фишера — Типпета или теорема об экстремальных значениях) является теоремой теории экстремальных значений в отношении асимптотического распределения статистик экстремального порядка . Теорема об экстремальных значениях и детали ее сходимости приписываются Фреше (1927)^[1], Фишеру и Типпету (1928)^[2], Мизесу (1936)^[3][4] и Гнеденко (1943).

Впервые проблема нахождения распределения максимального значения в последовательности случайных величин была сформулирована Борткевичем В.И. в 1922 году. В 1928 Фишер и Типпет указали принадлежность распределения к одному из трех типов. В работах Мизеса и Гнеденко были указаны условия сходимости к данным трем распределениям

Описание

Есть последовательность величин${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}...}$ независимых и одинаково распределенных переменных${\displaystyle M_{n}=\max\{X_{1},...,X_{n}\}}$. Если имеются пары действительных чисел ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ то существуют такой, что ${\displaystyle a_{n}>0}$ e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)}$, если ${\displaystyle F}$ является невыраженной функцией распределения, то предельное распределение ${\displaystyle F}$ принадлежит к распределениям либо Гумбеля, либо Фреше, либо Вейбулля. Эти ситуации называют обобщениями экстремальными законами^[5].

В разработке теоремы участвовали Математики Фишер в 1927 и Типетт в 1928 году, а также Борис Гнеденко в 1943 году.

G(γ,x,θ) =EXP[ -(1+ γ *(x-µ)/θ)^(-1/ γ) ]

Данная функция при γ =0 имеет форму распределения Гумбеля (экспотенциальный хвост) ,при γ > 0 имеет форму распределения Фреше (тяжелый хвост), а при γ < 0 (легкий хвост) — форму распределения Вейбулла. ^[6]

Примечания

1. Annales de la Société Polonaise de Mathématique {{citation}}: |title= пропущен или пуст (справка)^{[уточнить]}
2. Proc. Camb. Phil. Soc. {{citation}}: |title= пропущен или пуст (справка)^{[уточнить]}
3. Mises, R. von (1936). "La distribution de la plus grande de n valeurs". Rev. Math. Union Interbalcanique 1: 141—160.
4. Falk, Michael (1993). "Von Mises conditions revisited". The Annals of Probability: 1310—1328.
5. Annals of Mathematics {{citation}}: |title= пропущен или пуст (справка)^{[уточнить]}
6. Моделирование экстремальных потерь в страховании. Калюжная В.О.  (неопр.) Дата обращения: 17 марта 2023. Архивировано 17 марта 2023 года.

Литература

• Fisher R.A., Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proc. Cambridge Phil. Soc., 24 (1928), 180-190.
• Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d’une s´erie al´eatoire. Ann. Math., 44 (1943), 423-453.

Ссылки

• Научные достижения Б.В. Гнеденко
• Статья про теорему
• Верификация радиолокационного наукастинга областей осадков значительной площади с помощью обобщенного распределения Парето.Часть 1: элементы теории и методы оценки параметров А.В. Муравьев, А.Ю. Бундель, Д.Б. Киктев, А.В. Смирнов