Теорема Юнга

Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — компактное множество диаметра ${\displaystyle d}$; то есть,

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}}$

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}$

который содержит ${\displaystyle K}$. Равенства достигается для правильного n-симплекса.

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть ${\displaystyle n=2}$. В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества ${\displaystyle K}$ в любом метрическом пространстве выполняется

${\displaystyle {\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d}$

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке ${\displaystyle K}$, будет содержать все ${\displaystyle K}$.

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

• Неравенство Юнга

Литература

• Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — (выпуск 10 серии "Библиотека математического кружка").