Уравнения Баргмана — Вигнера

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана для e− e+ аннигиляции с образованием пары кварков qq и глюона g
История квантовой теории поля
Основы Теория поля Электромагнитное взаимодействие Слабое взаимодействие Сильное взаимодействие Квантовая механика СТО ОТО Калибровочная инвариантность
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симмметрия P-симметрия T-симметрия Трансляционная симметрия Временная трансляционная симметрия^[англ.] Вращательная симметрия Лоренц-ковариантность Группа Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии^[англ.] Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга — Миллса Заряд Топологический заряд
Аппарат Аномалия^[укр.] Crossing Эффективная теория поля Вакуумное среднее Духи Фаддеева — Попова Диаграммы Фейнмана Lattice gauge theory LSZ reduction formula Partition function Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Вакуум Теорема Вика Теорема Вайтмана
Уравнения Дирака Клейна — Гордона Прока Уиллера — Девитта Баргмана — Вигнера
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса
Другие теории Топологическая квантовая теория поля^[англ.] Теория струн Суперсимметрия Technicolor Теория всего Квантовая гравитация
Учёные Карл Андерсон Филип Андерсон Бете Боголюбов Браут Бьёркен Вайнберг Вайскопф Вейль Велтман Вильсон Вильчек Гейзенберг Гелл-Ман Глэшоу Гросс Гуральник Дайсон Девитт Дирак Йордан Каллан Кендалл Киббл Коулман Ландау Ли Лэмб Майорана Миллс Намбу Нисидзима Паризи Поляков Салам Скерм Сударшан Томонага Уорд Фейнман Ферми Фирц Фок Фрёлих Хааг Хейген Хиггс Хофт Швингер Энглер Юкава Янг

Уравнения Баргмана — Вигнера — релятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.^[1]

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

История

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера.^[2] Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре.^[3] Вигнер отмечает, что Этторе Майорана^[4] и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений^[5].

Формулировка уравнений

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином ${\displaystyle j}$ уравнения БВ представляют собой систему ${\displaystyle 2j}$ линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид^{[2][6][7] [8][9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

и следует общему правилу;

${\displaystyle \left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _{\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j}}=0}$

(1)

для ${\displaystyle r=1,2,...2j}$.

Волновая функция БВ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$ имеет компоненты

${\displaystyle \psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)}$

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует ${\displaystyle 4^{2j}}$ компонент всего спинорного поля ${\displaystyle \psi }$, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до ${\displaystyle 2(2j+1)}$. Далее, ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )}$ являются матрицами Дирака, и

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }}$

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение ${\displaystyle (-\gamma ^{\mu }P_{\mu }+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)}$, является матрицей размерности ${\displaystyle 4\times 4}$, потому что ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ матрицы, и ${\displaystyle mc''}$ скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью ${\displaystyle 4\times 4}$ (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, ${\displaystyle E}$ является оператором энергии, ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ является оператором трёхмерного импульса, ${\displaystyle I_{2}}$ обозначает единичную матрицу размерностью ${\displaystyle 2\times 2}$, нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью ${\displaystyle 2\times 2}$ составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

• уравнения БВ являются Лоренц-ковариантными,
• все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона и, следовательно, удовлетворяют релятивистскому соотношению энергии и импульса^[англ.],

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$,

• уравнения БВ допускают вторичное квантование .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего минимальное электромагнитное взаимодействие^[англ.], формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu }-eA_{\mu }}$, где ${\displaystyle e}$ - электрический заряд частицы и ${\displaystyle A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )}$ - это электромагнитный потенциал.^[10][11] Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.^[12][13]

Структура группы Лоренца

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:^[10]

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

где ${\displaystyle D_{r}}$ обозначает неприводимое представление.

См. также

• Уравнения Дирака для двух тел^[англ.]
• Обобщения матриц Паули^[англ.]
• D-матрица Вигнера
• Матрицы Вейля–Брауэра^[англ.]
• Матрицы Дирака высших размерностей^[англ.]
• Уравнения Йооса–Вайнберга^[англ.] — альтернативные уравнение, описывающие свободные частицы с любым спином.
• Теория высших спинов^[англ.]

Источники

Примечания

1. В этой статье используется соглашение о суммировании Эйнштейна для тензорных/спинорных индексов и используется символ циркумфлекса для обозначения квантовых операторов.
2. E.A. Jeffery (1978). "Component Minimization of the Bargman–Wigner wavefunction". Australian Journal of Physics. 31 (2): 137. Bibcode:1978AuJPh..31..137J. doi:10.1071/ph780137.
3. E. Wigner (1937). "On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group" (PDF). Annals of Mathematics. 40 (1): 149—204. Bibcode:1939AnMat..40..149W. doi:10.2307/1968551. JSTOR 1968551. Архивировано (PDF) 4 октября 2015. Дата обращения: 12 сентября 2022.
4. Э. Майорана Релятивистская теория частицы с произвольным внутренним угловым моментом // Л. Мишель, М. Шааф Симметрия в квантовой физике. — М., Мир, 1974. — с. 239-247
5. Bargmann, V.; Wigner, E. P. (1948). "Group theoretical discussion of relativistic wave equations". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 34 (5): 211—23. Bibcode:1948PNAS...34..211B. doi:10.1073/pnas.34.5.211. PMC 1079095. PMID 16578292. {{cite journal}}: line feed character в |journal= на позиции 16 (справка)
6. R.K. Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Generalizations of the Dirac equation in covariant and Hamiltonian form". Journal of Physics A. 34 (10): 2031—2039. Bibcode:2001JPhA...34.2031L. doi:10.1088/0305-4470/34/10/307.
7. H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin". Communications in Theoretical Physics. 37 (1): 63. Bibcode:2002CoTPh..37...63H. doi:10.1088/0253-6102/37/1/63. Архивировано из оригинала 27 ноября 2012. Дата обращения: 12 сентября 2022.
8. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы. — Л., ЛГУ, 1983. — с. 326 - 327
9. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. — М., Наука, 1972. — с. 150 - 153
10. T. Jaroszewicz; P.S. Kurzepa (1992). "Geometry of spacetime propagation of spinning particles". Annals of Physics. 216 (2): 226—267. Bibcode:1992AnPhy.216..226J. doi:10.1016/0003-4916(92)90176-M.
11. C.R. Hagen (1970). "The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity". Communications in Mathematical Physics. Vol. 18, no. 2. pp. 97—108. Bibcode:1970CMaPh..18...97H. doi:10.1007/BF01646089.
12. Cedric Lorce (2009). "Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 1 ? Electromagnetic Current and Multipole Decomposition". arXiv:0901.4199 [hep-ph].
13. Cedric Lorce (2009). "Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 ? Natural Moments and Transverse Charge Densities". Physical Review D. 79 (11): 113011. arXiv:0901.4200. Bibcode:2009PhRvD..79k3011L. doi:10.1103/PhysRevD.79.113011. S2CID 17801598.

Дальнейшее чтение

Книги

• Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, vol II
• Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, vol III
• R. Penrose. The Road to Reality. — Vintage books, 2007. — ISBN 978-0-679-77631-4.

Избранные статьи

• E. N. Lorenz (1941). "A Generalization of the Dirac Equations". PNAS. 27 (6): 317—322. Bibcode:1941PNAS...27..317L. doi:10.1073/pnas.27.6.317. PMC 1078329. PMID 16588466.
• V. V. Dvoeglazov (2011). "The modified Bargmann-Wigner formalism for higher spin fields and relativistic quantum mechanics". doi:10.1142/S2010194511001218.
• D. N. Williams (1965). "The Dirac Algebra for Any Spin" (PDF). Lectures in Theoretical Physics. Vol. 7A. University Press of Colorado. pp. 139—172.
• H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). "Projection Operator and Feynman Propagator for a Free Massive Particle of Arbitrary Spin". Communications in Theoretical Physics. 41 (3): 405—418. Bibcode:2004CoTPh..41..405H. doi:10.1088/0253-6102/41/3/405.
• V. P. Neznamov (2006). "On the theory of interacting fields in Foldy-Wouthuysen representation". Phys. Part. Nucl. 37 (2006): 86—103. arXiv:hep-th/0411050. Bibcode:2004hep.th...11050N. doi:10.1134/S1063779606010023. S2CID 16681061.
• H. Stumpf (2004). "Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations, a Modern Formulation of de Broglie's Fusion Theory" (PDF). Annales de la Fondation Louis de Broglie. Vol. 29, no. Supplement. p. 785.
• D. G. C. McKeon; T. N. Sherry (2004). "The Bargmann–Wigner Equations in Spherical Space". arXiv:hep-th/0411090.
• R. Clarkson; D. G. C. McKeon (2003). "Quantum Field Theory" (PDF). pp. 61—69. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009. Дата обращения: 27 октября 2016.
• H. Stumpf (2002). "Eigenstates of Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations for Photons with Partonic Substructure" (PDF). Z. Naturforsch. Vol. 57. pp. 726—736.
• B. Schroer (1997). "Wigner Representation Theory of the Poincare Group, Localization , Statistics and the S-Matrix". Nuclear Physics B. 499 (3): 519—546. arXiv:hep-th/9608092. Bibcode:1997NuPhB.499..519S. doi:10.1016/S0550-3213(97)00358-1. S2CID 18003852.
• E. Elizalde; J.A. Lobo (1980). "From Galilean-invariant to relativistic wave equations" (PDF). Physical Review D. Vol. 22, no. 4. p. 884. Bibcode:1980PhRvD..22..884E. doi:10.1103/physrevd.22.884.
• D. V. Ahluwalia (1997). "Book Review: The Quantum Theory of Fields Vol. I and II by S. Weinberg". Found. Phys. 10 (3): 301—304. arXiv:physics/9704002. Bibcode:1997FoPhL..10..301A. doi:10.1007/bf02764211. S2CID 189940978.
• J. A. Morgan (2005). "Parity and the Spin-Statistics Connection". Pramana. 65 (3): 513—516. arXiv:physics/0410037. Bibcode:2005Prama..65..513M. doi:10.1007/BF02704208. S2CID 119416196.

Внешние ссылки

Релятивистские волновые уравнения:

• Dirac matrices in higher dimensions, Wolfram Demonstrations Project
• Learning about spin-1 fields, P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico (недоступная ссылка)
• Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• Quantum field theory I, Martin Mojzis
• The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Representations of Lorentz Group, indiana.edu
• Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra, mcgill.ca (недоступная ссылка)
• The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
• Representations of Lorentz and Poincare groups, J. Maciejko, Stanford University
• Representations of the Symmetry Group of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009