Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Бонне. Пусть ${\displaystyle g=g_{ij}}$ и ${\displaystyle b=b_{ij}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ две гладкие квадратичные формы заданые в односвязной области ${\displaystyle U}$. Если ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle b}$ удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном^[1] в 1853, переоткрыты Майнарди^[2] и Кодацци(1867)^[3].

Вариации и обобщения

Известен вариант уравнений для гиперповерхносей в пространствах старших размерностей, а также для произвольных коразмерностей.^[4]

Примечания

1. Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
2. Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856.
3. Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869.
4. M. Dajczer and R. Tojeiro. Submanifold theory. Universitext. Beyond an introduction. Springer, New York, 2019

Литература

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.