Филинг-радиус

Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия.

Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий.

Кривые на плоскости

Филинг-радиус (${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$) замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус ${\displaystyle R>0}$ круга, который содержится внутри кривой.

Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из ${\displaystyle \varepsilon >0}$ таких, что кривая C стягивается в точку в своей ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности.

Определение

Обозначим через A кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет.

Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии ${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$, и мы полагаем

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

где ${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$ обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х.

Свойства

• В любой размерности ${\displaystyle n}$ существует константа ${\displaystyle c_{n}}$, что неравенство

  ${\displaystyle (\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M}$

выполняется для любого замкнутого риманова ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$.

• Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.^[1]
• Для данного многообразия ${\displaystyle M}$ размерности хотя бы 3, оптимальная константа ${\displaystyle c(M)}$ в неравенстве

${\displaystyle (\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)}$

зависти только от размерности ${\displaystyle M}$ и его ориентируемости.^[2]

• Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.^[3]
  • Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой.
    • В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен π/3, то есть одной шестой её длины.

• Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов.
  • Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше.

• Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно,

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1}}.}$

Примечания

1. Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. arXiv:1909.12225
2. Brunnbauer, Michael, Filling inequalities do not depend on topology. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231.
3. Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511.

Литература

• Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
• Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511.
• Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978