Иван Цветаев родился в семье сельского священника Владимира Васильевича Цветаева (1818—1884) и его жены Екатерины Васильевны (1824—1859). Мать рано умерла, отец один воспитывал четверых сыновей, отправив их впоследствии по духовной линии. Иван учился шесть лет в Шуйском духовном училище, затем ещё шесть — во Владимирской духовной семинарии. После этого поступил в Медико-хирургическую академию, но по состоянию здоровья оставил её и перешёл в Императорский Санкт-Петербургский университет на классическое отделение историко-филологического факультета. Окончил университет в 1870 году со степенью кандидата. С 1871 года преподавал греческий язык в 3-й Санкт-Петербургской гимназии, а в 1872 году стал доцентом Варшавского университета, там же, в Варшаве, защитил магистерскую диссертацию — «Cornelii TacitiGermania. I. Опыт критического обозрения текста» (Варшава, 1873). В 1874 году отправился в зарубежную командировку в Италию для изучения древних италийских языков и письменности.
С 1901 по 1910 год был директором Румянцевского музея. В 1910 после кражи в гравюрном отделении Румянцевского музея министр народного просвещения А. Н. Шварц передал обвинение Цветаева «в служебном нерадении» в уголовный суд Правительствующего сената. Вор был найден, обвинённого в халатности хранителя суд оправдал, но ревизии в музее продолжались. Ревизоры представили начальству не соответствующие действительности доклады. Министр отстранил Цветаева от должности. Однако обвинительные документы не убедили сенат, снятие Цветаева с должности и назначение судебного следствия не было поддержано. Цветаев написал и представил в сенат для своей защиты книгу «Московский публичный и Румянцевский Музеи. Спорные вопросы. Опыт самозащиты» (М.; Дрезден, 1910). Дело было прекращено[5].
В 1894 году, на Первом съезде русских художников и любителей художеств, созванном по случаю дарения Москве картинной галереи братьев Третьяковых, Цветаев произнёс речь, в которой призвал к созданию нового музея изящных искусств в Москве. По инициативе профессора был объявлен конкурс на лучший проект музея. Победил в конкурсе проект Р. И. Клейна. В 1897 году он знакомится с миллионером Ю. С. Нечаевым-Мальцовым, который стал главным финансовым покровителем музея. В августе 1899 года состоялась торжественная закладка музея. 31 мая 1912 года Музей изящных искусств был открыт. «Наш гигантский младший брат», — называла его Марина Цветаева. Собственно, вначале это был музей античного искусства: вторая в России после Эрмитажа коллекция оригиналов и слепков греческой скульптуры, которые могли бы служить образцами для развития художественного вкуса. По воспоминаниям его дочери Марины Цветаевой, ряд из этих работ был выполнен в существующей до настоящего времени художественной мастерской в Шарлоттенбурге. Часть слепков из коллекции созданного им музея составляет основу Университетского музеяРГГУ. Все годы строительства Музея Цветаев занимался им безвозмездно, не получая за это жалования. В командировки за экспонатами ездил на свои средства, а при покупках максимально экономил средства дарителей[7]. Царская семья отметила труды Цветаева по созданию Музея изящных искусств присвоением звания почётного опекуна. Цветаев всего год прослужил директором музея, скончавшись от сердечного приступа[8].
Валерия Цветаева (1883—1966) — организатор, руководитель и один из педагогов Государственных курсов искусства движения (1920-е — 1930-е годы), на базе ВХУТЕМАС в Москве.
Андрей Цветаев (19 апреля 1890 — 6 апреля 1933) — юрист по образованию, художник-декоратор, специалист по западноевропейской живописи и фарфору, знал не менее пяти языков. После кончины отца Андрей унаследовал дом в Трёхпрудном переулке. Умер в 42 года от туберкулёза, похоронен рядом с отцом на Ваганьковском кладбище[10][11][12].
Варвара Иловайская умерла через несколько дней после рождения сына.
На фасаде Музея изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве установлена мемориальная доска в его честь.
В Дроздово, на месте бывшего дома Цветаевых, установлена мемориальная плита.
В городе Таруса (Калужская область), в доме, где некогда жила семья Цветаевых, создан музей. В городском парке Тарусы установлен памятник дочери ученого-искусствоведа — Марине Цветаевой. В 2010 году в городе также открыт памятный бюст самому Ивану Владимировичу.
В честь И. В. Цветаева назван астероид (8332) Ivantsvetaev, открытый Л. Г. Карачкиной и Л. В. Журавлёвой в Крымской Астрофизической Обсерватории 14 октября 1982 г.
Основные труды Ивана Цветаева посвящены античной филологии, изучению италийских языков, а также искусства, культурной и общественной жизни древних народов.
Сборник осских надписей с очерком фонетики, морфологии и глоссарием, К., 1877;
Inscriptiones Italiae mediae dialecticae…, v. [1-2], Lipsiae, 1884-85;
Inscriptiones Italiae inferioris dialecticae, Mosquae, 1886;
Учебный атлас античного ваяния, в. 1-3, М., 1890—1894;
«Комитет по устройству музея античного искусства в Москве» (М., 1893), «Художественный музей Московского университета» («Московские ведомости» и «Русские Ведомости», 1894);
«Проект положения о комитете для устройства при Московском университете музея изящных искусств» (Москва, 1896);
↑Цветаев Иван Владимирович (неопр.). Летопись Московского университета. letopis.msu.ru. Дата обращения: 14 ноября 2017. Архивировано 14 ноября 2017 года.
↑Марина Цветаева: «…последний вздох его был актом отдачи, сожалением, что не хватило ещё нескольких лет жизни для перестройки — на собственный счёт, на тройной свой оклад профессора, директора и почётного опекуна — музейных колонн, показавшихся критикам слишком тонкими по отношению к высоте».
Коваль Л. М.Трудное десятилетие: Иван Владимирович Цветаев // На благое просвещение: Из истории Российской государственной библиотеки: (К 150-летию основания Московского публичного и Румянцевского музеев) / Л. М. Коваль; Худож. оформление: В. В. Покатов; Российская государственная библиотека. — М.: Пашков дом, 2012. — С. 241—358. — 500 с. — 300 экз. — ISBN 978-5-7510-0546-7. (обл.)
Корыхалова Т. П. Труды И. В. Цветаева по италийской эпиграфике // Вестник древней истории. — 1973. — No 2.
Садовничий В. А.Иван Владимирович Цветаев (1847—1913) // О людях Московского университета. — 3-е изд., дополненное. — М.: Издательство Московского университета, 2019. — С. 62—67. — 356 с. — 3000 экз. — ISBN 978-5-19-011397-6.