Числа Пизо

Число Пизо[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана[3][4], или PV-число) — любое алгебраическое целое число, большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году[5], изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями[6], но получили известность после публикации диссертации Шарля Пизо[фр.] в 1938[7]. Исследования продолжили Тирукканнапурам Виджаярагхаван[англ.] и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема: это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.

Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число таково, что последовательность расстояний [8] от его степеней до множества целых чисел принадлежит [прояснить], то  — число Пизо (и, в частности,  — алгебраическое).

Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения , известный как пластическое число.[2]

Квадратичные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение многочлен Числовое значение
1,618034… (золотое сечение)
2,414214… (серебряное сечение)
2,618034… A104457
2,732051… A090388
3,302776… A098316 (бронзовое сечение)
3,414214…
3,561553.. A178255.
3,732051… A019973
3,791288…A090458
4,236068… A098317

Примечания

[править | править код]
  1. А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13. Архивировано 4 сентября 2011 года.
    А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6. — С. 9—13. Архивировано 27 ноября 2011 года.
  2. 1 2 Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 97–131.
  4. Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
  5. Axel Thue, "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
  6. Godfrey H. Hardy, "A problem of diophantine approximation", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
  7. Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
  8. Здесь обозначает расстояние от до , то есть , где  — дробная часть числа .