Числа звёздчатого октаэдра

124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра (англ. stella octangula numbers) — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS) и в общем случае задаются уравнением ${\displaystyle n(2n^{2}-1)}$^[1][2]. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: ${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+14x^{2}+51x^{3}+124x^{4}+...}$^[1]

Формулы

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как ${\displaystyle StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}}$^[1], где ${\displaystyle O_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ное октаэдрическое число, а ${\displaystyle T_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ное тетраэдрическое число. Поскольку ${\displaystyle O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)}$^[3], а ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)}$^[4], получим ${\displaystyle StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1)={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^{3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)}$.

Рекуррентные формулы ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2}}$^[5] и ${\displaystyle T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$^[5] позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: ${\displaystyle StOct_{1}=1}$, ${\displaystyle StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1}$^[5].

Уравнение Люнггрена

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это ${\displaystyle StOct_{1}=1}$ и ${\displaystyle StOct_{169}=3107^{2}=9653449}$^[5] Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Люнггрена^[англ.], диофантова уравнения ${\displaystyle y^{2}=2x^{4}-1}$^[6][7].

Примечания

1. Eric W. Weisstein. Stella Octangula Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 28 июня 2017 года.
2. Conway, John; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.
3. Eric W. Weisstein. Octahedral Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 30 мая 2019 года.
4. Eric W. Weisstein. Tetrahedral Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 10 июля 2017 года.
5. Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 119-120. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.
6. W. Ljunggren. Zur Theorie der Gleichung x^2 + 1 = Dy^4 // Avh. Norsk. Vid. Akad. Oslo. — 1942. — С. 1-27.
7. Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K.A. Bencsath, P.R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 234-235. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.