Centrálny moment

Centrálny moment je v matematickej štatistike jedna z charakteristík náhodnej premennej X, resp. jedna z charakteristík jej rozdelenia pravdepodobnosti. Zvyčajne sa táto charakteristika označuje nasledovne: ${\displaystyle \nu _{k}}$
Okrem iného sa centrálne momenty spolu so začiatočnými momentmi využívajú pri definovaní charakteristík šikmosti a charakteristík špicatosti (koeficient šikmosti a špicatosti).

Ako vidno z definície centrálneho momentu, tak variancia náhodnej veličiny je druhý centrálny moment náhodnej veličiny.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle \operatorname {(} X-E[X])^{k}}$, kde ${\displaystyle k}$ je ľubovoľné prirodzené číslo, sú integrovateľné náhodné premenné. Potom sa číslo

${\displaystyle \nu _{k}=\operatorname {E} \{(X-E[X])^{k}\}}$

nazýva k-ty všeobecný centrálny moment (resp. centrálny všeobecný moment) náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

Číslo

${\displaystyle \nu _{k}^{\prime }=\operatorname {E} \{|X-E[X]|^{k}\}}$

sa potom nazýva k-ty absolútny centrálny moment (resp. centrálny absolútny moment).

Špeciálne

Teda podľa definície môžeme vyjadriť centrálne momenty pre náhodné premenné nasledovne:

Ak ${\displaystyle X}$ je diskrétna náhodná premenná, tak potom:

${\displaystyle \nu _{k}=\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-E[X])^{k}P(x_{i})}$

Ak ${\displaystyle X}$ je spojitá náhodná premenná, tak potom:

${\displaystyle \nu _{k}=\int _{E^{1}}(x-E[X])^{k}f(x)\operatorname {d} x}$

kde ${\displaystyle f(x)}$ je hustota pravdepodobnosti danej náhodnej veličiny a ${\displaystyle E^{1}}$ je jednorozmerný euklidovský priestor.

Pozri aj

• Začiatočný moment

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Štatistické analýzy.. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344.

• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.