Horný odhad

Horný odhad alebo majoranta, je matematický pojem z teórie usporiadania.

Definícia

Ak je množina A usporiadaná reláciou ${\displaystyle R}$ a B je podmnožina A, potom prvok ${\displaystyle a\in A}$ je horným odhadom B, práve keď ${\displaystyle (\forall b\in B)(b\leq a)}$.

Množina ${\displaystyle B\subseteq A}$ je zhora obmedzená, pokiaľ pre ňu existuje aspoň jeden horný odhad.

Vlastnosti horného odhadu

• Pokiaľ má množina ${\displaystyle B\subseteq A}$ najväčší prvok, potom je tento prvok horným odhadom.
• Pomocou pojmu horný odhad sa definuje pojem supremum množiny ako najmenší prvok množiny (alebo triedy) všetkých horných odhadov (pokiaľ táto množina má najmenší prvok).

Príklady

Nech A je množina všetkých reálných čísiel (A = R), B je množina všetkých reálnych čísiel x takých, že x² < 3 a nech R je relácia obvyklého ostrého usporiadania reálnych čísiel (tj. R = <). Potom B pri usporiadaní R je napríklad číslo 10. Najmenším odhadom je číslo ${\displaystyle s={\sqrt {3}}}$.

Nech A je trieda všetkých ordinálnych čísiel (A = On), B je množina všetkých konečných ordinálnych čísiel (tj. množina prirodzených čísiel) a R = ${\displaystyle \in }$ je usporiadanie na triede On. Potom majorantou B pri usporiadaní R je každé nekonečné ordinálne číslo, najmenšou majorantou je číslo ${\displaystyle s=\omega \,(=\aleph _{0})}$.

Pozri aj

• Dolný odhad
• Supremum
• Infimum

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Majoranta na českej Wikipédii.