Wilksovo lambda rozdelenie

Wilksovo lambda rozdelenie (iné názvy: Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, ${\displaystyle \Lambda }$-rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia

Majme dva matice ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ a ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$. Nech matica ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda: ${\displaystyle {\mathbf {A} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {I} };m)}$ a nech matica ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ má tiež p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: ${\displaystyle {\mathbf {B} }\sim {\mathbf {W} _{p}}({\mathbf {I} };n)}$, pričom platí, že ${\displaystyle m\geq p}$ a symbolom ${\displaystyle {\mathbf {I} }}$ označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina ${\displaystyle \Lambda }$ definovaná nasledovným vzťahom:

${\displaystyle {\mathbf {\Lambda } }={\frac {det|{\mathbf {A} }|}{det|{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }|}}=det|{\mathbf {I} }+{\mathbf {A} }^{-1}{\mathbf {B} }|^{-1}}$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n.

Označenie

V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda ${\displaystyle {\mathbf {\Lambda } }(p,m,n)}$. Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda ${\displaystyle {\mathbf {\lambda } }}$.

Vlastnosti a vzťahy

Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda n nezávislých náhodných premenných ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$, pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

${\displaystyle A_{j}\sim Beta\left({\frac {m+j-p}{2}};{\frac {p}{2}}\right)}$

kde ${\displaystyle j=1,2,\cdots ,p}$. Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: ${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{p}A_{j}}$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n, teda: ${\displaystyle A\sim \Lambda (p,m,n)}$.

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi ${\displaystyle \Lambda }$–rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

• ${\displaystyle {\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}{{\mathbf {\Lambda } }(p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(p;m-p+1)}$

• ${\displaystyle {\frac {1-{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}{{\mathbf {\Lambda } }(1,m,n)}}\sim {\frac {n}{m}}F(n;m)}$

• ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F(2p;2(m-p+1))}$

• ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}{\sqrt {{\mathbf {\Lambda } }(2,m,n)}}}\sim {\frac {n}{m-1}}F(2n;2(m-1))}$

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre p a n použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter m je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

${\displaystyle -\left[m-{\frac {p-n+1}{2}}\right]\ln \Lambda (p,m,n)\sim \chi ^{2}(np)}$

pričom ${\displaystyle \chi ^{2}(np)}$ označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.