Logaritemska porazdelitev

Logaritemska porazdelitev
Plot of the logarithmic PMF Funkcija je določena samo za cela števila. Povezave med posameznimi točkami je narisana samo zaradi lažje predstave o poteku funkcije.
Zbirna funcija za logarimično porazdelitev.
oznaka	${\displaystyle Log(p)\!}$
parametri	${\displaystyle 0<p<1\!}$
interval	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}$
pričakovana vrednost	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}$
mediana
modus	${\displaystyle 1}$
varianca	${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}$
simetrija	zelo komplicirana funkcija
sploščenost	zelo komplicirana funkcija
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!}$
karakteristična funkcija	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!}$

Logaritemska porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki jo lahko izpeljemo iz Taylorjeve vrste:

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$.

Iz tega se dobi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

kar vodi do logaritemske porazdelitve

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

Uporaba

Logaritemska porazdelitev se uporablja na različnih področjih (zavarovalništvo, fizika, genetika itd). Nekaj primerov ^[1]:

• število živali ali rastlin na določenem področju
• število nakupov v določenem obdobju
• število parazitov na gostitelju

itd.

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti za logaritemsko porazdelitev je:

${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti logaritemske porazdelitve je

${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!}$

kjer je

• ${\displaystyle \mathrm {B} (p;k+1,0)\!}$ nepopolna funkcija beta.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!}$.

Varianca

Varianca je enaka

${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!}$.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Negativna binomska porazdelitev

Skupina logaritemsko porazdeljenih slučajnih spremenljivk ima negativno binomsko porazdelitev. To pomeni: če je N slučajna spremenljivka s Poissonovo porazdelitvijo in X_i pomeni neskončno zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk, ki imajo logaritemsko porazdelitev, potem ima

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}X_{i}}$

negativno binomsko porazdelitev.

Opombe in reference

1. Opis logaritemske porazdelitve

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev

Zunanje povezave