Neasociativni kolobar

Neasociativni kolobar je v abstraktni algebri posplošitev pojma kolobarja.

Neasociativen kolobar je množica ${\displaystyle R\,}$, ki ima dve operaciji: seštevanje in množenje. Kolobar ${\displaystyle R\,}$ je Abelova grupa za seštevanje. V kolobarju za seštevanje velja

• ${\displaystyle a+b=b+a\,}$
• ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\,}$
• v kolobarju ${\displaystyle R\,}$ obstoja element 0, tako, da velja ${\displaystyle 0+a=a+0=a\,}$
• za vsak ${\displaystyle a\,}$ v ${\displaystyle R\,}$ obstoja element ${\displaystyle -a\,}$ tako, da velja ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0\,}$.

Množenje je linearno za vsako spremenljivko. Veljajo naslednja pravila:

• ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc\,}$ (levi zakon distributivnosti)
• ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac\,}$ (desni zakon distributivnosti)

V nasprotju s kolobarji se ne zahteva, da množenje zadošča asociativnosti. Prav tako se ne zahteva obstoja enotskega elementa, ki bi zadoščal ${\displaystyle 1x=x1=x\,}$.

Neasociativnost pomeni, da pri množenju asociativnost ni obvezna, je pa dovoljeno asociativno množenje. Zaradi tega so asociativni kolobarji posebni primer neasociativnih kolobarjev.

Zgledi

Prvi primer neasociativnega kolobarja so oktonioni, ki jih je odkril irski matematik in pravnik John Thomas Graves (1806 – 1870) leta 1843. Tudi hiperbolični kvaternioni, ki jih je odkril škotski logik, fizik in matematik Alexander Macfarlane (1851 – 1913) v letu 1890, tvorijo neasociativno algebro.