Primorielno praštevilo

Primorielno praštevilo (angleško primorial prime) je v matematiki praštevilo oblike:

${\displaystyle p_{n}\#\pm 1\!\,,}$

kjer je p_n# primoriela praštevila ${\displaystyle p_{n}\,}$ – produkt prvih ${\displaystyle n\,}$ praštevil.

Po tej definiciji:

• je p_n# + 1 praštevilo za n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, ... (OEIS A014545)
• je p_n# − 1 praštevilo za n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, ... (OEIS A057704)

Števila oblike ${\displaystyle p_{n}\#+1\,}$, ki niso nujno praštevila, se imenujejo Evklidova števila (OEIS A006862). Prva Evklidova števila, ki niso praštevila, so (OEIS A066576):

30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 7420738134811, 304250263527211, 13082761331670031, ...

Prva skoraj primorielna praštevila so (OEIS A228486):

2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, ...

Primorielna praštevila oblike p_n# + 1

Prva primorielna praštevila oblike ${\displaystyle p_{n}\#+1\,}$ so (OEIS A018239):

(2), 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, ...

Prva praštevila za katera obstajajo primorielna praštevila oblike ${\displaystyle p_{n}\#+1\,}$ (trenutno je znanih 22 takšnih praštevil) so (OEIS A005234):

2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, ...

Število 2 je sicer najmanjše primorielno praštevilo. Pri tem velja, da je prazni produkt po dogovoru enak 1 in 0# + 1 = 1# + 1 = 2. Načeloma pa število 2 ni oblike ${\displaystyle p_{n}\#+1\,}$, ker število 1 (${\displaystyle p_{0}\,}$) po definiciji ni niti praštevilo niti sestavljeno število.

Primorielna praštevila oblike p_n# − 1

Prva primorielna praštevila oblike ${\displaystyle p_{n}\#-1\,}$ so (OEIS A057705):

5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, ...

Prva praštevila za katera obstajajo primorielna praštevila oblike ${\displaystyle p_{n}\#-1\,}$ (trenutno je znanih 18 takšnih praštevil) so (OEIS A006794):

3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, ...

Največje znano primorielno praštevilo

Od 28. februarja 2012 je največje znano primorielno praštevilo 1098133# − 1 (n = 85586) s 476.311 števkami najdeno v projektu PrimeGrid.^[1]

Število primorielnih praštevil

Evklidov dokaz o neskončnem številu praštevil velikokrat napačno tolmačijo z definicijo primorielnih praštevil v naslednjem smislu:^[2]

Naj so prva n zaporedna praštevila vključno s številom 2 edina, ki obstajajo. Če je p_n# + 1 ali p_n# − 1 primorielno praštevilo, pomeni, da obstajajo večja praštevila od n-tega praštevila (če nobeno ni praštevilo, tudi to dokazuje neskončno število praštevil, vendar manj neposredno. Vsako od teh dveh števil ima ostanek ali p − 1 ali 1, ko se deli z enim od prvih n praštevil, in zato ne more biti mnogokratnik nobenega od njiju).

Ni znano ali obstaja neskončno mnogo primorielnih praštevil, oziroma Evklidovih števil, ki so praštevila.

Neskončni verižni ulomek

Konstanti neskončnih verižnih ulomkov primorielnih praštevil obeh oblik sta:^[3]

${\displaystyle u_{p+}=[0;3,7,31,211,2311,200560490131,\ldots ]=0,318248165083\ldots \!\,,}$ (OEIS A248584),

${\displaystyle u_{p-}=[0;5,29,2309,30029,30425026352720,\ldots ]=0,198630157303\ldots \!\,,}$ (OEIS A248585).

Glej tudi

• Evklidovo število
• fakultetno praštevilo
• PrimeGrid
• primoriela

Sklici

1. »Najava v forumu«. Primegrid.com (v angleščini). 2. marec 2011.
2. Hardy; Woodgold (2009)
3. Wolf (2010).

Viri

• Hardy, Michael; Woodgold, Catherine (2009), »Prime Simplicity«, Mathematical Intelligencer, 31 (4): 44–52
• Wolf, Marek (2010), Continued fractions constructed from prime numbers, arXiv:1003.4015

Nadaljnje branje

• A. Borning, "Some Results for ${\displaystyle k!+1}$ and ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$" Math. Comput. 26 (1972): 567–570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial na Prime Pages.
• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197–203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Primorial Prime«. MathWorld.