Waldov test

V statistiki Waldov test (poimenovan po Abrahamu Waldu) ocenjuje omejitve statističnih parametrov na podlagi utežene razdalje med neomejeno oceno in njegovo hipotetično vrednost pod ničelno hipotezo, kjer je utež natančnost ocene.^[1][2] Intuitivno pomeni večja utežena razdalja manjšo verjetnost, da je omejitev resnična. Končna razporeditev vzorca Waldovih testov ni znana,^[3] vendar ima asimptotično porazdelitev hi-kvadrat pod ničelno hipotezo, dejstvo, ki ga lahko uporabimo pri določanju statistične značilnosti.^[4]

Skupaj s testom Lagrangeovega multiplikatorja in testom verjetnostnega razmerja je Waldov test en od treh klasičnih pristopov k testiranju hipotez. Prednost Waldovega testa pred ostalima dvema je da zahteva samo ocenjevanje neomejenega modela, kar zmanjša računsko breme v primerjavi z testom razmerja verjetnosti. Toda velika pomanjkljivost testa je v tem, da (v končnih vzorcih) ni indiferenten na spremembe v predstavitvi ničelne hipoteze; z drugimi besedami, algebraično ekvivalenten izraz nelinearne omejitve parametrov lahko vodi v drugačne vrednosti testne statistike.^[5][6] To je zato, ker je Waldova testna statistika izpeljana iz Taylorjeve razširitve^[7] in različni načini zapisovanja ekvivalentnih nelineranih izrazov vodijo v netrivialne razlike v ustreznih Taylorjevih koeficientih.^[8] Še ena okrajšava, znana kot Hauck-Donnerjev učinek,^[9] se lahko zgodi v binomskih modelih, ko je ocenjeni (neomejeni) parameter vlizu meje parameterskega prostora - npr. fittana verjenost je izjemno blizu ničli ali enki - kar vodi v to, da Waldov test ni več monotono naraščajoč na razdalji med neomejenim in omejenim parametrom.^[10][11]

Matematične podrobnosti

V Waldovem testu, je ocenjena ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$, ki je bila najdena kot maksimirajoči argument neomejene funkcije verjetnosti primerjana s hipotetično vrednostjo ${\displaystyle \theta _{0}}$. In sicer kvadrirana razlika ${\displaystyle {\hat {\theta }}-\theta _{0}}$ je utežena s krivino logaritemske funkcije verjetnosti.

Testi na enem parametru

Če hipoteza vključuje omejitev samo enega parametra, je Waldova testna statistika naslednje oblike:

${\displaystyle W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}$

kar pod ničelno hipotezo sledi asimptotični χ2 porazdelitvi z eno stopinjo prostosti.

Sklici

1. Fahrmeir, Ludwig; Kneib, Thomas; Lang, Stefan; Marx, Brian (2013). Regression : Models, Methods and Applications. Berlin: Springer. str. 663. ISBN 978-3-642-34332-2.
2. Ward, Michael D.; Ahlquist, John S. (2018). Maximum Likelihood for Social Science : Strategies for Analysis. Cambridge University Press. str. 36. ISBN 978-1-316-63682-4.
3. Martin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Econometric Modelling with Time Series: Specification, Estimation and Testing. Cambridge University Press. str. 138. ISBN 978-0-521-13981-6.
4. Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). »The Method of Maximum Likelihood : Fundamental Concepts and Notation«. Estimation and Inference in Econometrics. New York: Oxford University Press. str. 89. ISBN 0-19-506011-3.
5. Gregory, Allan W.; Veall, Michael R. (1985). »Formulating Wald Tests of Nonlinear Restrictions«. Econometrica. 53 (6): 1465–1468. doi:10.2307/1913221. JSTOR 1913221.
6. Phillips, P. C. B.; Park, Joon Y. (1988). »On the Formulation of Wald Tests of Nonlinear Restrictions« (PDF). Econometrica. 56 (5): 1065–1083. doi:10.2307/1911359. JSTOR 1911359. Arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 23. novembra 2022. Pridobljeno 16. februarja 2024.
7. Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton: Princeton University Press. str. 489–491. ISBN 1-4008-2383-8.,
8. Lafontaine, Francine; White, Kenneth J. (1986). »Obtaining Any Wald Statistic You Want«. Economics Letters. 21 (1): 35–40. doi:10.1016/0165-1765(86)90117-5.
9. Hauck, Walter W. Jr.; Donner, Allan (1977). »Wald's Test as Applied to Hypotheses in Logit Analysis«. Journal of the American Statistical Association. 72 (360a): 851–853. doi:10.1080/01621459.1977.10479969.
10. King, Maxwell L.; Goh, Kim-Leng (2002). »Improvements to the Wald Test«. Handbook of Applied Econometrics and Statistical Inference. New York: Marcel Dekker. str. 251–276. ISBN 0-8247-0652-8.
11. Yee, Thomas William (2022). »On the Hauck–Donner Effect in Wald Tests: Detection, Tipping Points, and Parameter Space Characterization«. Journal of the American Statistical Association. 117 (540): 1763–1774. arXiv:2001.08431. doi:10.1080/01621459.2021.1886936.