Mosbarazimi Askey–Gasper

Në matematikë, mosbarazimi Askey–Gasper është një mosbarazim për polinomet Jacobi, e vërtetuar nga Richard Askey and George Gasper (1976) dhe përdoret në vërtetimin e konjekturës së Bieberbahut .

Pohimi

Në të thuhet se nëse ${\displaystyle \beta \geq 0}$, ${\displaystyle \alpha +\beta \geq -2}$, dhe ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ atëherë

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}$

ku

${\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

është një polinom Jakobi.

Rasti kur ${\displaystyle \beta =0}$ mund të shkruhet edhe si

${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\qquad 0\leq t<1,\quad \alpha >-1.}$

Në këtë formë, me α një numër të plotë jo-negativ, mosbarazimi u përdor nga Louis de Branges në vërtetimin e tij të konjekturës Bieberbach .

Prova

Ekhad (1993) dha një provë të shkurtër të këtij mosbarazimi, duke kombinuar identitetin

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)=\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}}$

me mosbarazimin e Klausenit .

Shiko gjithashtu

• Mosbarazimet e Turanit