Mosbarazimi Hermite-Hadamard

Në matematikë, mosbarazimi Hermite-Hadamard, i quajtur pas Charles Hermite dhe Jacques Hadamard dhe ndonjëherë i quajtur edhe mosbarazimi i Hadamardit, thotë se nëse një funksion ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ është konveks, atëherë qëndron zinxhiri i mëposhtëm i mosbarazimeve:

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Mosbarazimi është përgjithësuar në dimensione më të larta: nëse ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ është një fushë e kufizuar, konvekse dhe ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ është një funksion konveks pozitiv, atëherë

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)\,d\sigma (y)}$

ku ${\displaystyle c_{n}}$ është një konstante në varësi vetëm nga dimensioni.

Një përfundim mbi integralet e tipit Vandermonde

Supozoni se ${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$, dhe zgjidhni n vlera të dallueshme ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{n}}$ nga ${\displaystyle (a,b)}$ . Le të jetë ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ konveks, dhe le shënojmë me ${\displaystyle I}$ veprimin "integralin që fillon nga a " ; kjo është,

${\displaystyle (If)(x)=\int _{a}^{x}{f(t)\,dt}}$ .

Pastaj,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {(I^{n-1}F)(x_{i})}{\prod _{j\neq i}{(x_{i}-x_{j})}}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$

Barazia vlen për të gjitha ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{n}}$ nëse ${\displaystyle f}$ është linear, dhe për të gjitha ${\displaystyle f}$ nëse ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{n}}$ është konstante, në kuptimin që

${\displaystyle \lim _{\{x_{j}\}_{j}\to \alpha }{\sum _{i=1}^{n}{\frac {(I^{n-1}F)(x_{i})}{\prod _{j\neq i}{(x_{i}-x_{j})}}}}={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}}$

Rezultati vjen nga induksioni për ${\displaystyle n}$ .