Shpërndarja logaritmike

Shpërndarja logaritmike

Probability mass function Grafiku i FMP-së Funksioni është i përcaktuar vetëm për numra të plotë.Vijat lidhëse shërbejnë vetëm për vizualizim.
Cumulative distribution function Grafiku i FMSH-së
Parametrat	${\displaystyle 0<p<1}$
Mbështetës	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
FMGJ	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}$
FGSH	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
Vlera e pritur	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
Moda	${\displaystyle 1}$
Varianca	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
FGJM	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ për }}t<-\ln p}$
FK	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}$
FGJGJ	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ për }}|z|<{\frac {1}{p}}}$

Në probabilitet dhe statistikë, shpërndarja logaritmike (e njohur gjithashtu si shpërndarja e serive logaritmike ose shpërndarja e serive log ) është një shpërndarje diskrete probabiliteti që rrjedh nga zgjerimi i serisë Maclaurin

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Nga kjo marrim identitetin

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Kjo çon drejtpërdrejt në funksionin e masës së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të shpërndarë:

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

për k ≥ 1 dhe ku 0 < p < 1. Për shkak të identitetit të mësipërm, shpërndarja është e normalizuar siç duhet.

Funksioni mbledhës i shpërndarjes është

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

ku B është funksioni beta jo i plotë .

RA Fisher e përshkroi shpërndarjen logaritmike në një letër ku e përdori atë për të modeluar bollëkun e specieve relative . ^[1]

1. Fisher, R. A.; Corbet, A. S.; Williams, C. B. (1943). "The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population" (PDF). Journal of Animal Ecology. 12 (1): 42–58. doi:10.2307/1411. JSTOR 1411. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2011-07-26. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)