Shpërndarja Kantor

Shpërndarja e Kantorit është një shpërndarje probabilitare funksioni mbledhës i shpërndarjes të së cilës është funksioni i Kantorit.

Kjo shpërndarje nuk ka as një funksion të densitetit të probabilitetit dhe as një funksion të masës së probabilitetit, pasi megjithëse funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është një funksion i vazhdueshëm, shpërndarja nuk është absolutisht e vazhdueshme në lidhje me masën e Lebegut. Pra, nuk është as një shpërndarje probabiliteti diskrete dhe as absolutisht e vazhdueshme, dhe as nuk është një përzierje e këtyre. Përkundrazi është një shembull i një shpërndarjeje njëjës .

Karakterizimi

Bashkësia e përcaktimit e shpërndarjes Kantor është bashkësia Kantor, në vetvete kryqëzimi i bashkësive(të pafundme dhe të numërueshme ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}}$

Shpërndarja Kantor është shpërndarja unike e probabilitetit për të cilën për çdo ${\displaystyle C_{t}}$ ( ${\displaystyle t\in \{0,1,2,...\}}$), probabiliteti i një intervali të caktuar në ${\displaystyle C_{t}}$ që përmban ndryshoren e që ndjek ligjin Kantor është identikisht ${\displaystyle 2^{-t}}$ në secilin nga intervalet ${\displaystyle 2^{t}}$ .

Momentet

Është e lehtë të shihet nga simetria dhe duke qenë i kufizuar se për një ndryshore të rastit ${\displaystyle X}$ që ka këtë shpërndarje, pritja e saj matematike ${\displaystyle E[X]=1/2}$, dhe se të gjitha momentet qendrore teke të ${\displaystyle X}$ janë 0.

Ligji i variancës së plotë mund të përdoret për të gjetur variancën ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$, si më poshtë. Për grupin e mësipërm ${\displaystyle C_{1}}$, le të jetë ${\displaystyle Y=0}$ nëse ${\displaystyle X\in [0,1/3]}$ dhe 1 nëse ${\displaystyle X\in [2/3,1]}$. Pastaj:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{me probabilitet}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{me probabilitet}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}}$

Nga kjo marrim:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.}$