Shuma e ndryshoreve të rastit të shpërndara normalisht

Në teorinë e probabilitetit, llogaritja e shumës së ndryshoreve të rastit me shpërndarje normale është një shembull i aritmetikës së ndryshoreve të rastit .

Ndryshore rasti të pavarura

Le të jenë ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ ndryshore rasti të pavarura që shpërndahen normalisht (dhe për rrjedhojë edhe bashkërisht kështu), atëherë shuma e tyre gjithashtu shpërndahet normalisht. dmth, nëse

${\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$

${\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$

${\displaystyle Z=X+Y,}$

atëherë

${\displaystyle Z\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}).}$

Kjo do të thotë që shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht është normale, ku mesatarja e saj është shuma e dy mesatareve dhe varianca e saj është shuma e dy variancave (d.m.th., katrori i devijimit standard është shuma e katrorët e devijimeve standarde). ^[1]

Në mënyrë që ky rezultat të qëndrojë, supozimi se ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ janë të pavarura nuk mund të hiqet, megjithëse mund të dobësohet në supozimin se ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ janë të shpërndara normalisht së bashku, dhe jo veçmas. ^[2] (Shih këtu për një shembull .)

Vërtetimi

Vërtetimi duke përdorur funksione karakteristike

Funksioni karakteristik

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it(X+Y)}\right)}$

i shumës së dy ndryshoreve të rastit të pavarura ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ është vetëm prodhimi i dy funksioneve të veçanta karakteristike:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),\qquad \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)}$

e ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$.

Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me vlerë të pritur ${\displaystyle \mu }$ dhe variancë ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ është

${\displaystyle \varphi (t)=\exp \left(it\mu -{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}\right).}$

Kështu që

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)&=\exp \left(it\mu _{X}-{\sigma _{X}^{2}t^{2} \over 2}\right)\exp \left(it\mu _{Y}-{\sigma _{Y}^{2}t^{2} \over 2}\right)\\[6pt]&=\exp \left(it(\mu _{X}+\mu _{Y})-{(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})t^{2} \over 2}\right).\end{aligned}}}$

Ky është funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me pritje matematike ${\displaystyle \mu _{X}+\mu _{Y}}$ dhe variancë ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}$

Ndryshore rasti të korreluara

Në rast se ndryshoret ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ janë së bashku të shpërndara normalisht, atëherë ${\displaystyle X+Y}$ është ende e shpërndarë normalisht dhe mesatarja është shuma e mesatareve. Megjithatë, variancat nuk janë shtuese për shkak të korrelacionit. Me të vërtetë,

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},}$

ku ρ është korrelacioni . Në veçanti, sa herë që ρ < 0, atëherë varianca është më e vogël se shuma e variancave të X dhe Y.

1. Lemons, Don S. (2002), An Introduction to Stochastic Processes in Physics, The Johns Hopkins University Press, fq. 34, ISBN 0-8018-6866-1 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. Lemons (2002) pp. 35–36