Në teorinë e probabilitetit, llogaritja e shumës së ndryshoreve të rastit me shpërndarje normale është një shembull i aritmetikës së ndryshoreve të rastit .
Le të jenë
dhe
ndryshore rasti të pavarura që shpërndahen normalisht (dhe për rrjedhojë edhe bashkërisht kështu), atëherë shuma e tyre gjithashtu shpërndahet normalisht. dmth, nëse
![{\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc89fb1a8a0ccc98de04fbe39d29de46ad2b9c8)
![{\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71af4fd9f42fc4c3862e430c8050debadafcaf1d)
![{\displaystyle Z=X+Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddfa17681bda0dd11190d7baa5fb07f68e90a8e)
atëherë
![{\displaystyle Z\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fceed1e76621f9fe87a314d3b5b30f5aace7110)
Kjo do të thotë që shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht është normale, ku mesatarja e saj është shuma e dy mesatareve dhe varianca e saj është shuma e dy variancave (d.m.th., katrori i devijimit standard është shuma e katrorët e devijimeve standarde). [1]
Në mënyrë që ky rezultat të qëndrojë, supozimi se
dhe
janë të pavarura nuk mund të hiqet, megjithëse mund të dobësohet në supozimin se
dhe
janë të shpërndara normalisht së bashku, dhe jo veçmas. [2] (Shih këtu për një shembull .)
Funksioni karakteristik
![{\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it(X+Y)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8690b75dc98fa11908f7941adc6e2b42ded1fd)
i shumës së dy ndryshoreve të rastit të pavarura
dhe
është vetëm prodhimi i dy funksioneve të veçanta karakteristike:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),\qquad \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691b3619679b99d61e9c8eedd7c12f8e199c1233)
e
dhe
.
Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me vlerë të pritur
dhe variancë
është
![{\displaystyle \varphi (t)=\exp \left(it\mu -{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b2902fdcf2c3d277828d75f2e0e8cab273e07a)
Kështu që
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)&=\exp \left(it\mu _{X}-{\sigma _{X}^{2}t^{2} \over 2}\right)\exp \left(it\mu _{Y}-{\sigma _{Y}^{2}t^{2} \over 2}\right)\\[6pt]&=\exp \left(it(\mu _{X}+\mu _{Y})-{(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})t^{2} \over 2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792f3b62b260ba1f24635f05e02bda984ee0f811)
Ky është funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me pritje matematike
dhe variancë
Në rast se ndryshoret
dhe
janë së bashku të shpërndara normalisht, atëherë
është ende e shpërndarë normalisht dhe mesatarja është shuma e mesatareve. Megjithatë, variancat nuk janë shtuese për shkak të korrelacionit. Me të vërtetë,
![{\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6882e65c0042f15960e0aa6e2d0d9c75a783fc)
ku ρ është korrelacioni . Në veçanti, sa herë që ρ < 0, atëherë varianca është më e vogël se shuma e variancave të X dhe Y.
- ^ Lemons, Don S. (2002), An Introduction to Stochastic Processes in Physics, The Johns Hopkins University Press, fq. 34, ISBN 0-8018-6866-1
- ^ Lemons (2002) pp. 35–36