У математици, Вајлов закон је општи назив за асимптотску формулу која описује густину спектра дате Риманове многострукости. Носи име немачког математичара Хермана Вајла, који ју је доказао за случај домена у еуклидској равни.
У основном облику, Вајлов закон се односи на компактне Риманове многострукости. У хармонијској анализи, функције дефинисане на таквој многострукости M разлажемо на компоненте на којима извесни диференцијални оператори имају посебно једноставно, „чисто“ дејство. Најједноставнији пример оваквог расуђивања имамо у Фуријеовој анализи, у којој периодичне реалне функције ("сигнале") разлажемо на елементарне синусне и косинусне компоненте ("просте осцилације"):
Тригонометријске функције су овде својствене функције диференцијалног оператора Δ = d2 / dx2 на простору L2. Али не појављују се све такве својствене функције у горњем развоју, већ само оне код којих је индекс n цео број. Ово одсликава природу простора на којем је f дефинисана: за функцију периода (рецимо) 2π, можемо сматрати да је дефинисана на интервалу [0,2π] при чему се крајње тачке 0 и 2π идентификују: другим речима, на кругу (који је, пак, компактна Риманова многострукост S1 димензије 1).
На Римановим многострукостима, Лаплас-Белтрамијев оператор ΔM, диференцијални оператор другог реда, се дефинише као дивергенција градијента. Лаплас-Белтрамијев оператор је симетричан и може се исказати у локалним координатама (ui) користећи метрички тензор (gij) и Кристофелове симболе Γkij као
Лапласијан садржи у себи важне информације о геометрији многострукости M, и његове својствене функције, дакле функције φ ∈ L2(M) такве да је
су елементарни блокови за хармонијску анализу на овом простору. Као и у једноставном примеру M = S1, свака функција у L2(M) се може разложити у збир својих простих компоненти. Схватање о важности својствених функција за разумевање геометрије простора M популарисао је Марк Кац у свом познатом мемоару „Можемо ли чути облик бубња?". Њихове одговарајуће својствене вредности λ чине спектар Spec(ΔM) простора M. Ако је M компактна многострукост, својствених вредности има пребројиво много и оне чине дискретан растући низ
Вајлов закон је асимптотска формула за тзв. бројачку функцију спектра
Она нам говори колико својствених вредности можемо очекивати у неком интервалу великих вредности ("високе енергије"). Најпознатији Вајлов закон је теорема Хермандера, која за број својствених вредности Лапласијана на компактној Римановој многострукости M димензије n даје асимптотску формулу
где је cn константа која зависи једино од димензије n.
Први закон ове врсте доказао је Херман Вајл за домене у еуклидској равни. Чињеницу да је водећи члан пропорционалан запремини површи предвиђали су још раније физичари полазећи од односа класичне и квантне механике!
Асимптотска формула за N(λ) је утолико квалитетнија уколико је О-оцена за остатак R(λ) = N(λ) - cnvol(M)λn/2 боља. У пуној општости, Хермандерова оцена се не може побољшати као што показује пример сфере Sn. Питање оптималне оцене (односно, стварне стопе раста) за R(λ) још увек није у потпуности схваћено и зависи од својстава геодезијског тока на (јединичном тангентном снопу) многострукости M. На пример, многострукости са комплетно интеграбилним током и оне код којих је геодезијски ток ергодички имају потпуно другачију природу.
На пример, ако је M торус T2 = R2 / Z2, Лапласов оператор Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 делује на функције на T2, односно (са идентификацијом аналогном као у случају интервала) на функције два реална аргумента периодичне са периодом 1 по свакој променљивој. Својствене функције су стандардне експоненцијалне функције e2πi(mx+ny), са одговарајућом својственом вредношћу 4π2(m2+n2). У овом случају, N(λ) представља број „целобројних“ тачака (тј. чије су обе координате цели бројеви) унутар круга полупречника λ1/2 / 2π, и питање налажења асимптотске формуле за N(λ) са оптималном оценом остатка јесте класични Гаусов проблем круга.
Асимптотске формуле за величину
називају се локалним Вајловим законом (где својствене функције φj чине ортонормирани систем). Притом је ∫M Nx(λ) dx = N(λ). Вајлов закон и локални Вајлов закон су основне алатке у спектралној анализи на M.
Варијанте Вајловог закона познате су и за неке не-компактне Риманове многострукости, конкретно локално симетричне просторе ранга 1 и коначне запремине. На пример, ако је h хиперболичка горња полураван и Γ дискретна група изометрија на h извесног типа (тзв. Фуксова група прве врсте), тада је M = Γ \ h хиперболичка површ коначне запремине, и спектар Лапласијана има осим дискретног и непрекидни део. Вајлов закон у овом контексту гласи
где φ (детерминанта „матрице расејања"), h (број шиљака) и cΓ зависе једино од групе Γ, и параметру 1/2+it одговара својствена вредност 1/4+t2, што објашњава границе интеграције. У општем случају дискретни и непрекидни део спектра увек доприносе заједно. Међутим, ако је Γ аритметичка група, φ се може изразити преко Л-функција и показује се да главу тежину у горњој асимптотској формули заиста носи дискретни део спектра. Одговарајуће својствене функције су Масове шиљкасте форме, кључан објекат модерне аналитичке теорије бројева.