Agmons olikheter

Agmons olikheter, uppkallade efter Shmuel Agmon, är två nära relaterade olikheter som är användbara inom teorin av partiella differentialekvationer.

Låt ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ där ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$^{[förtydliga]}. Då säger Agmons olikheter i tre dimensioner att det finns en konstant ${\displaystyle C}$ så att

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},}$

och

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.}$

I två dimensioner gäller fortfarande den första olikheten, men inte den andra: låt ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ där ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$. Då säger Agmons olikhet i två dimensioner att det finns en konstant ${\displaystyle C}$ så att

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Agmon's inequality, 18 november 2013.