Carlemans olikhet

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923^[1].

Låt ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{1}...a_{n})^{\frac {1}{n}}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Konstanten ${\displaystyle e}$ i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om ${\displaystyle a_{1},a_{2}...}$ är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis

Utgå från Hardys olikhet:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}}$

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt ${\displaystyle a_{k}}$ med ${\displaystyle a_{k}^{\frac {1}{p}}}$ och skriv om på följande sätt:

${\displaystyle \left({\frac {1}{k}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}\right)^{p}=\exp {\frac {1}{p}}\left(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}-\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{0}\right)}$

Låt ${\displaystyle p\to \infty }$ och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\exp {\frac {1}{p}}\left(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}-\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{0}\right)=\exp \left(\left[{\frac {d}{dx}}(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x})\right]_{x=0}\right)=\exp \left(\left[{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}\ln a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}}}\right]_{x=0}\right)}$

Applicera nu ${\displaystyle x=0}$ då man får:

${\displaystyle \exp \left(\left[{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}\ln a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}}}\right]_{x=0}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln a_{k}\right)=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt ${\displaystyle a_{k}\,}$ med ${\displaystyle a_{k}^{\frac {1}{p}}}$ och låt p gå mot oändligheten

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Referenser

1. T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.

• Maria Johansson, Lars-Erik Persson, Anna Wedestig (2003). ”Carleman's inequality - history, proofs and som new generalizations”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). Läst 10 februari 2009.