Derivation

Den här artikeln handlar om derivation inom algebran. För derivation inom lingvistiken, se Avledning.

Inom algebran, är en derivation en typ av avbildning som abstraherar deriveringsavbilningen i analysen.

Definition

Låt k vara en kommutativ ring och R en kommutativ k-algebra. En k-derivation på R är en k-linjär avbildning D från R till R som satisfierar Leibniz regel dvs:

${\displaystyle D(xy)=xDy+yDx}$

Exempel

1. Låt R vara ringen av oändligt deriverbara funktioner och D avbildningen ${\displaystyle f\rightarrow f'}$
2. Låt R vara ringen av polynom i variablen x över en kropp k, och låt D vara operatorn ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$
3. Låt R vara ringen av polynom i variblerna ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ och låt D vara på formen ${\displaystyle \sum P_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

Egenskaper

Man kan visa att derivationerna på ringen av släta funktioner på en differentierbar mångfald svarar entydigt mot vektorfälten på mångfalden. Detta ger en remarkabel koppling mellan analytiska och rent algebraiska objekt.

Inom algebra och algebraisk geometri används derivationer för att ge motsvarigheter till den analytiska teori som finns för differentierbara mångfalder. Derivationer kan också användas i rent algebraiska syften, till exempel för att klassificera extensioner av kommutativa algebror, eller för att karakterisera helt slutna ringar.