Grassmannmångfald

En Grassmannmångfald, namngett efter den tyske matematikern Hermann Grassmann, är inom matematiken en mångfald av alla delrum av en viss dimension i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Formell definition

Låt ${\displaystyle 0<m<n\,}$ vara heltal. Grassmannmångfalden är mängden

${\displaystyle G(n,m):=\{V\subset \mathbb {R} ^{n}:V\ {\mbox{är ett linjärt delrum, }}\dim(V)=m\}}$,

dvs mängden av alla m-dimensionella linjära delrum i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Mångfald

Grassmannmångfalden är en mångfald med topologin från metriken ${\displaystyle d:G(n,m)\times G(n,m)\rightarrow \mathbb {R} }$,

${\displaystyle d(V,W):=\|P_{V}-P_{W}\|}$,

där

• ${\displaystyle V,W\in G(n,m)\,}$,

• ${\displaystyle P_{V}\,}$ och ${\displaystyle P_{W}\,}$ är ortogonala projektioner på V och W och

• ${\displaystyle \|\cdot \|}$ är operatornormen för linjär avbildninger.

Måttstruktur

Huvudartikel: Grassmannmått

Definiera en funktion från ortogonalgruppen ${\displaystyle O(n)\,}$ till ${\displaystyle G(n,m)\,}$ på följande sätt:

${\displaystyle \Xi _{V}:O(n)\rightarrow G(n,m)\,}$, så att ${\displaystyle \Xi _{V}(g)=gV.\,}$

Grassmannmåttet ${\displaystyle \gamma _{n,m}\,}$ ett bildmått:

${\displaystyle \gamma _{n,m}:=\Xi _{V\#}\theta _{n},\,}$

dvs för ${\displaystyle A\subset G(m,n)\,}$

${\displaystyle \gamma _{n,m}(A)=\theta _{n}(\{g\in O(n):gV\in A\}).}$

Här är ${\displaystyle \theta _{n}\,}$ det vridningsinvariant måttet i ${\displaystyle O(n)\,}$.

Källor

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.