Huas identitet

Inom algebra är Huas identitet^[1] en identitet som säger att för godtyckliga element a, b av en skevkropp gäller

${\displaystyle a-(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})^{-1}=aba}$

bara ${\displaystyle ab\neq 0,1}$. Genom att ersätta ${\displaystyle b}$ med ${\displaystyle -b^{-1}}$ får man den ekvivalenta formen

${\displaystyle (a+ab^{-1}a)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}$

En viktig användning av identiteten är i beviset av Huas sats.^[2][3] Satsen säger att om ${\displaystyle \sigma :K\to L}$ är en funktion mellan skevkroppar och om ${\displaystyle \sigma }$ satisfierar

${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$

är ${\displaystyle \sigma }$ antingen en homomorfi eller en antihomomorfi.

Bevis

${\displaystyle (a-aba)(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})=ab(b^{-1}-a)(a^{-1}+(b^{-1}-a)^{-1})=1.}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hua's identity, 4 februari 2014.

1. Cohn 2003, §9.1.
2. Cohn 2003, Theorem 9.1.3.
3. http://math.stackexchange.com/questions/161301/is-this-map-of-domains-a-jordan-homomorphism

• Cohn, Paul M. (2003). Further algebra and applications (Revised ed. of Algebra, 2nd). London: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-667-6