Newtons olikheter

Newtons olikheter är inom matematiken uppkallade efter Isaac Newton. Anta att a₁, a₂, …, a_n är reella tal och låt ${\displaystyle \sigma _{k}}$ beteckna den k:te elementära symmetriska funktionen i a₁, a₂, …, a_n. Då ges det elementära symmetriska medelvärdet av:

${\displaystyle S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}}}$

satisfierar olikheten

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}}$

med likhet om och endast om alla tal a_i är lika. Notera att S₁ är det aritmetiska medelvärdet samt att S_n är den n:te potensen av det geometriska medelvärdet.

Se även

• Maclaurins olikhet

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Newton's inequalities, 15 maj 2014.

• Newton, Isaac (1707). Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber 
• D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p. 55
• Maclaurin, C. (1729). ”A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra,”. Phil. Transactions, 36 (407–416): sid. 59–96. doi:10.1098/rstl.1729.0011. 
• Whiteley, J.N. (1969). ”On Newton's Inequality for Real Polynomials”. The American Mathematical Monthly 76 (8): sid. 905–909. doi:10.2307/2317943. 
• Niculescu, Constantin (2000). ”A New Look at Newton's Inequalities”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 1 (2). http://www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111. 

Externa länkar

• Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics