Unitär delare

Inom matematiken är ett naturligt tal a unitär delare av ett tal b om a är en delare av b och om a och ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ är relativt prima. Sålunda är 5 en unitär delare av 60, eftersom 5 och ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$ endast har 1 som en gemensam faktor, medan 6 är en delare men inte en unitär delare av 60, eftersom 6 och ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$ har en gemensam faktor utöver 1, nämligen 2. 1 är en unitär delare av alla naturliga tal.

Ekvivalent, en given delare a av b är en unitär delare om och endast om varje primtalsfaktor för a har samma multiplicitet i a som i b.

Summan av den unitära delarfunktionen betecknas med den gemena grekiska bokstaven sigma sålunda: σ*(n). Summan av den k:te potensen av de unitära delarna betecknas med σ*_k(n):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\mid n \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Om de äkta de unitära delarna till ett givet tal adderar fram till detta tal, så är det ett unitärt perfekt tal.

Egenskaper

Antalet unitära delare av ett tal n är 2^k, där k är antalet distinkta primtalsfaktorer av n. Summan av de unitära delarna till n är udda om n är en potens av 2 (inklusive 1), och även annars.

Summan av de unitära delarna till n är en multiplikativ funktion av n, men inte komplett multiplikativ. Dirichlets genererade funktion är

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

Udda unitära delare

Summan av de k:te potenserna av udda unitära delare är

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Det är också multiplikativt, med Dirichlets genererade funktion

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Biunitär delare

En delare d av n är en biunitär delare om den största gemensamma den unitära delaren d och n/d. Antalet biunitära delare till n är en multiplikativ funktion av n med genomsnittlig ordning ${\displaystyle A\log x}$ där^[1]

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

Ett biunitärt perfekt tal är 1 lika med summan av dess biunitära alikvota delare. De enda biunitära perfekta talen är 6, 60 och 90.^[2]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Unitary divisor, 9 oktober 2013.

Fotnoter

1. Ivić (1985) p.395
2. Sandor et al (2006) p.115

Tryckta källor

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. sid. 84. ISBN 0-387-20860-7  Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. sid. 352. ISBN 0-387-98911-0 
• Cohen, Eckford (20 december 1959). ”A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”. Pacific J. Math. "9": ss. 13–23. 
• Cohen, Eckford (20 december 1960). ”Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”. Mathematische Zeitschrift "74": ss. 66–80. doi:10.1007/BF01180473. 
• Cohen, Eckford (20 december 1960). ”The number of unitary divisors of an integer”. American mathematical monthly "67": ss. 879–880. 
• Cohen, Graeme L. (20 december 1990). ”On an integers' infinitary divisors”. Math. Comp. "54": ss. 395–411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. 
• Cohen, Graeme L. (20 december 1993). ”Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”. Intl. J. Math. Math. Sci. "16": ss. 373–383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
• Finch, Steven (2004). ”Unitarism and Infinitarism”. Arkiverad från originalet den 1 september 2006. https://web.archive.org/web/20060901011841/http://algo.inria.fr/csolve/try.pdf. 
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. sid. 395. ISBN 0-471-80634-X 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, reds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Unitary Divisor", MathWorld.

OEIS-talföljder

•  A034444: σ₀(n)
•  A034448: σ₁(n)
•  A034676 till  A034682: σ₂(n) till σ₈(n)
•  A068068: σ^(o)*₀(n)
•  A192066: σ^(o)*₁(n)