அணிச்சல் எண்

ஒரு அணிச்சலை 15 (5 ஆவது அணிச்சல் எண்) துண்டுகளாக வெட்டுவதன் இயங்குபடம் . 4 தளங்களால் வெட்டப்படுகிறது. இவற்றுள், 14 துண்டுகள் அணிச்சலின் வெளிப்பரப்பைக் கொண்ட துண்டுகளாகவும், ஒரு துண்டு முழுவதும் அணிச்சலின் நடுப்பகுதியைக் கொண்ட ஒரு நான்முகி வடிவத்திலும் அமைகின்றன.

கணிதத்தில் அணிச்சல் எண் அல்லது கேக் எண் (cake number) என்பது, ஒரு முப்பரிமாண கனசதுரத்தைச் சரியாக n தளங்களைக்கொண்டு பிரிக்கக்கூடிய பகுதிகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் எண்ணாகும். இவ்வெண், C_n எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பிரிக்கப்படும் ஒவ்வொரு பகுதியும், கனசதுர வடிவ அணிச்சல் ஒன்றை கத்தியால் வெட்டக் கிடைக்கும் துண்டுகளை ஒத்தமையும் என்பதால் இந்த எண் அணிச்சல் எண் என அழைக்கப்படுகிறது. அணிச்சல். சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசைக்கு ஒத்த முப்பரிமாண எண்ணாக அணிச்சல் எண் அமைகிறது.

n = 0, 1, 2, ... எனில், C_n இன் மதிப்புகள்:

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ... (OEIS-இல் வரிசை A000125)

.

வாய்பாடு

n இன் தொடர் பெருக்கம் n!]];

ஈருறுப்புக் குணகங்கள்: ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}$

கனசதுரத்தை வெட்டும் தளங்களின் எண்ணிக்கை: n எனில்,

n-வது அணிச்சல் எண் கீழ்வரும் வாய்பாட்டால் தரப்படுகிறது:^[1]

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).}$

பண்புகள்

• சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசைக்கு ஒத்த முப்பரிமாண எண்ணாக அணிச்சல் எண் அமைகிறது.

மேலும், அடுத்தடுத்த இரு அணிச்சல் எண்களின் வித்தியாசங்கள், சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசையில் அமைகின்றன.^[1]

பெர்னூலியின் முக்கோணத்தின் நான்காவது நிரலில் அமையும் அணிச்சல் எண்கள் (நீலம்)

• பெர்னூலியின் முக்கோணத்தின் நான்காவது நிரலின் உறுப்புகள் (k = 3), n ( n ≥ 3) வெட்டுக்களால் கிடைக்ககூடிய அணிச்சல் எண்களைத் தருகின்றன.

• பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு நிரையின் முதல் நான்கு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை காண்பதன்மூலம் பெறலாம்:^[2]

k n	0	1	2	3		Sum
1	1	—	—	—		1
2	1	1	—	—		2
3	1	2	1	—		4
4	1	3	3	1		8
5	1	4	6	4		15
6	1	5	10	10		26
7	1	6	15	20		42
8	1	7	21	35		64
9	1	8	28	56		93
10	1	9	36	84		130

மேற்கோள்கள்

1. Yaglom, A. M.; Yaglom, I. M. (1987). Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. Vol. 1. New York: Dover Publications.
2. (OEIS-இல் வரிசை A000125)

வெளி இணைப்புகள்

• Eric Weisstein, "Space Division by Planes", MathWorld.
• Eric Weisstein, "Cake Number", MathWorld.