அலகு தொலைவு கோட்டுரு

பீட்டர்சன் கோட்டுரு ஒரு அலகு தொலைவு கோட்டுரு. இதனை ஒவ்வொரு விளிம்பும் ஒரு அலகு நீளம் கொண்டதாக தளத்தில் வரையலாம்.

கணிதம் மற்றும் வடிவவியல் கோட்டுரு கோட்பாடு இரண்டிலும் அலகு தொலைவு கோட்டுரு (unit distance graph) என்பது ஒரு தளத்திலமைந்த புள்ளிகளின் தொகுப்பில், இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு ஒரு அலகாக இருந்தால் அவ்விரு புள்ளிகளையும் ஒரு விளிம்பால் இணைக்கக் கிடைக்கும் கோட்டுருவாகும். ஒரு அலகு தொலைவு கோட்டுருவின் விளிம்புகள் சிலசமயங்களில் வெட்டிக்கொள்பவையாக இருக்கலாம். இதனால் அவை எப்பொழுதும் சமதளப்படுத்தக்கூடிய கோட்டுருக்களாக இருக்காது. விளிம்புகள் வெட்டிக்கொள்ளாத அலகு தொலைவு கோட்டுருவானது தீக்குச்சிக் கோட்டுரு என அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

அலகு தொலைவு கோட்டுருவாகவுள்ள மீகனசதுரக் கோட்டுரு Q₄

பின்வரும் கோட்டுருக்கள் அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களாக அமைகின்றன:

• சுழற்சி கோட்டுருக்கள்
• கட்ட அல்லது வலைப்பின்னல் கோட்டுருக்கள்
• மீகனசதுரக் கோட்டுருக்கள்
• விண்மீன் கோட்டுருக்கள்
• தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள்
• பீட்டர்சன் கோட்டுரு
• ஏவூத் கோட்டுரு (Heawood graph)^[1]
• சக்கரக் கோட்டுரு W₇

இரு அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் மீண்டுமொரு அலகு தொலைவு கோட்டுருவாக இருக்கும். இக்கூற்று வழக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படும் பிற கோட்டுரு பெருக்கல்களுக்கு உண்மையாக இருக்காது.^[2]

அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களின் உட்கோட்டுருக்கள்

மோபியசு-கான்டர் கோட்டுருவின் அலகு தொலைவு கோட்டுரு வரைதல். இதில் சில அடுத்தில்லாத இருமங்களும் ஒன்றுக்கொன்று அலகு தொலைவில் உள்ளன.

சில ஆதார மூலங்களில், ஒரு கோட்டுருவின் முனைகளுக்கும் ஒரு தளத்தில் அடுத்துள்ள இருமப்புள்ளிகளுக்கிடையே ஓரலகு தொலைவில் இருக்குமாறு வெவ்வேறிடத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளுக்குமிடையே ஒரு கோர்ப்பை (mapping) ஏற்படுத்த முடிந்தால் அக்கோட்டுருவை அலகு தொலைவு கோட்டுருவாக வரையறுக்கின்றனர். ஆனால் இந்த வகையான அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களில் அடுத்தில்லாத புள்ளிகளும் ஓரலகு தொலைவில் இருக்கலாம் என்ற சாத்தியக்கூறு கருத்தில் கொள்ளப்படவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக மோபியசு-கான்டர் கோட்டுரு இவ்வகையில் அமைந்துள்ளதைப் படத்தில் காணலாம்.

அலகு தொலைவு கோட்டுருவின் இந்த பலவீனமான வரையறையால் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பீட்டர்சன் கோட்டுருக்கள் அனைத்தும் அலகு தொலைவு கோட்டுருக்களாக உள்ளன.^[3] இரண்டுவிதமான வரையரைகளையும் வேறுபடுத்திக்காட்டுவதற்காக, முதலாவது வரையறான விளிம்புகள் தவிர மற்றவை அலகு தொலைவில் இல்லாத கோட்டுருக்கள் "கண்டிப்பான அலகு தொலைவு கோட்டுருக்கள்" (strict unit distance graphs) என அழைக்கப்படுகின்றன.^[4].

சக்கரக் கோட்டுரு W₇ இன் ஒரு ஆரக்காலை நீக்கினால் கிடைக்கும் கோட்டுரு அலகு தொலைவு கோட்டுருவின் உட்கோட்டுரு; ஆனால் அது கண்டிப்பான அலகு கோட்டுருவாக இருக்காது: இரு அடுத்துள்ள முனைகளுக்கு இடையே ஓரலகு தொலைவு உள்ளவாறு அதன் முனைகளை வெவ்வேறு இடங்களில் ஒரேயொரு வழியில் அமைக்கலாம். இந்த அமைப்பில் அடுத்தடுத்தவையாக இல்லாத, நீக்கப்பட்ட ஆரக்காலின் இறுதிமுனைகளும் ஓரலகு தொலைவில் இருக்கும்.^[5]

மேற்கோள்கள்

1. Gerbracht (2009).
2. Horvat & Pisanski (2010).
3. Žitnik, Horvat & Pisanski (2010).
4. Gervacio, Lim & Maehara (2008).
5. Soifer (2008), ப. 94.

வெளியிணைப்புகள்

• Venkatasubramanian, Suresh, "Problem 39: Distances among Point Sets in R² and R³", The Open Problems Project
• Weisstein, Eric W., "Unit-Distance Graph", MathWorld.