அலகுநிலை வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு இயல் எண் a ஆனது மற்றொரு எண் b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக (unitary divisor, Hall divisor) இருக்கவேண்டுமானால், a ஆனது b இன் வகுஎண்ணாகவும் a, ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ இரண்டும் சார்பகா எண்களாகவும் இருக்க வேண்டும் (அதாவது அவையிரண்டுக்கும் 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணி இருக்காது).

இந்த வரையறைக்குச் சமானமானதாக, "a இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் மடங்கெண்ணும் அக்காரணிக்கு b இலுள்ள மடங்கெண்ணுக்குச் சமமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" a ஆனது b இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்" எனக் கூறலாம்.

அலகுநிலை வகுஎண் என்ற கருத்துரு ஆர். வைத்தியநாதசாமி (1931) என்பவரால் துவக்கப்பட்டது. இதற்கு அவர் பயன்படுத்திய பெயர் "தொகுதி வகுஎண்" (block divisor) ஆகும்.^[1]

எடுத்துக்காட்டு

• 60 இன் அலகுநிலை வகுஎண் 5. ஏனெனில்:

${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$

${\displaystyle 5,12}$ இரண்டும் சார்பகா எண்கள். அதாவது அவற்றின் ஒரேயொரு பொதுக்காரணி 1.

மாறாக 6 ஐ எடுத்துக்கொண்டால் அது 60 இன் வகுஎண் மட்டுமே; அலகுநிலை வகுஎண்ணல்ல. ஏனெனில்:

${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10,}$

${\displaystyle 6,10}$ இரண்டிற்கு 1 ஐத் தவிர மற்றொரு பொதுக்காரணி 2 உள்ளது.

பண்புகள்

• ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் 1, ஒரு அலகுநிலை வகுஎண்ணாகும்.

• n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = 2^k, இதில் k ஆனது, n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.

• n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக (1 உட்பட) இருந்தால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது ஒற்றையெண்ணாகவும்,
  • n ஆனது இரண்டின் அடுக்காக இல்லாவிட்டால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது டைரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.

• n இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிகையும் கூட்டுத்தொகையும் பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்கும். ஆனால் அவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாக இருக்காது. டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

• n ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", n இன் ஒவ்வொரு வகுஎண்ணும் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்.

ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்கள்

ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்களின் k-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை:

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

இதுவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; மேலும் இதன் டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை

அலகுநிலை வகுஎண்-கூட்டுதொகைச் சார்பின் குறியீடு: σ*(n); அலகுநிலை வகுஎண்களின் k-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையின் குறியீடு: σ*_k(n):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

ஒரு எண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையானது அதே எண்ணாக இருக்குமானால், அந்த எண் அலகுநிலை செவ்விய எண் அல்லது அலகுநிலை நிறைவெண் என அழைக்கப்படும்.

நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத் தொடர்வரிசைகள்

 A034444 = σ^*₀(n) 

 A034448 = σ^*₁(n) 

 A034676 முதல் A034682 வரை = σ^*₂(n) முதல் σ^*₈(n)  வரை

 A068068 = σ^(o)*₀(n) 

 A192066 = σ^(o)*₁(n) 

 A064609 = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}$

குறிப்புகள்

1. R. Vaidyanathaswamy (1931). "The theory of multiplicative arithmetic functions". Transactions of the American Mathematical Society 33 (2): 579-662. doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1. 

மேற்கோள்கள்

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். p. 84. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7. Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-98911-0.
• Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. doi:10.2140/pjm.1959.9.13. 
• Cohen, Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer". Mathematische Zeitschrift 74: 66–80. doi:10.1007/BF01180473. 
• Cohen, Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer". American Mathematical Monthly 67 (9): 879–880. doi:10.2307/2309455. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/879. 
• Cohen, Graeme L. (1990). "On an integers' infinitary divisors". Math. Comp. 54 (189): 395–411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. Bibcode: 1990MaCom..54..395C. 
• Cohen, Graeme L. (1993). "Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer". Int. J. Math. Math. Sci. 16 (2): 373–383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
• Finch, Steven (2004). "Unitarism and Infinitarism" (PDF).
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. p. 395. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
• Mathar, R. J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv:1106.4038 [math.NT]. Section 4.2
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
• Toth, L. (2009). "On the bi-unitary analogues of Euler's arithmetical function and the gcd-sum function". J. Int. Seq. 12. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Toth2/toth5.html. 

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Unitary Divisor", MathWorld.
• Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors