அளவுமாற்றம் (வடிவவியல்)

அளவீட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. மஞ்சள் நிற முக்கோணம் மூன்று திசைகளில் சமமான அளவிட்டுக் காரணி (m=3) கொண்டு அளவீடு செய்யப்படுவதால் கிடைப்பது பிங்க் நிற முக்கோணம்.

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் சீரான அளவீடு (uniform scaling) என்பது ஒரு பொருளை எல்லாத் திசைகளிலும் ஒரே அளவீட்டுக் காரணியால் பெருக்கும் அல்லது குறுக்கும் நேரியல் கோப்பு ஆகும். மூல வடிவமும் அளவீட்டின் மூலம் கிடைக்கும் வடிவமும் வடிவொத்தவையாக இருக்கும். அளவீட்டுக் காரணி 1 எனில் இவ்வடிவங்கள் சர்வசமமானவை. ஒரு ஒளிப்படத்தின் அளவு அளவீட்டின் மூலமாகப் பெருக்க அல்லது குறுக்கப்படுகிறது. கட்டிடங்கள், கார்கள், வானூர்திகள் போன்றவற்றின் மாதிரிகள் அவற்றின் மூலவடிவிலிருந்து அளவீடு மூலம் பெறப்படுகின்றன.

ஒவ்வொரு ஆய அச்சுகளின் திசைகளிலும் வெவ்வேறு அளவீட்டுக் காரணிகள் கொண்டும் அளவீடு செய்யப்படலாம். பிற அளவீட்டுக் காரணிகளிலிருந்து குறைந்தது ஓர் அச்சு திசையின் அளவீட்டுக் காரணியாவது மாறுபட்டிருந்தால் அந்த அளவீடு, சீரற்ற அளவீடு (Non-uniform scaling) எனப்படும். சீரற்ற அளவீட்டில் ஒரு பொருளின் மூல வடிவம் மாறுபாடடையும். எடுத்துக்காட்டாக, சதுரம் செவ்வகமாக மாறலாம். சதுரத்தின் பக்கங்கள் அளவீட்டு அச்சுகளுக்கு இணையாக இல்லாவிடில், அச்சதுரம் இணைகரமாகலாம். இதற்கு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தட்டையான பொருளின் நிழல் அதற்கு இணையற்ற தளத்தில் விழும்போது காணலாம்.

அளவீட்டுக் காரணி 1 ஐ விடப் பெரியதெனில் அளவீடு (சீரான அல்லது சீரற்ற) விரிவு அல்லது பெருக்கம் எனப்படும். அளவீட்டுக் காரணி 1 ஐ விடப் சிறிய நேரெண் எனில் அளவீடு குறுக்கம் எனப்படும். அளவீட்டின் திசைகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவையாகவும் அமையலாம். ஏதாவது ஒரு திசையின் அளவீட்டுக் காரணியின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ அல்லது எதிரெண்ணாகவோ இருக்கலாம்.

அணி உருவகிப்பு

அளவீட்டை ஓர் அணியின் மூலம் குறியீடு செய்யலாம். ஒரு பொருளை v = (v_x, v_y, v_z) திசையனால் அளவீடு செய்வதற்கு அதன் ஒவ்வொரு புள்ளி p = (p_x, p_y, p_z) உம் கீழ்வரும் அளவீட்டு அணியால் பெருக்கப்பட வேண்டும்:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

அவ்வாறு பெருக்குவதனால் கிடைக்கும் விளைவு:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

இத்தகைய அளவீட்டில், ஒரு பொருளின் விட்டம் அளவீட்டுக் காரணிகளுக்கிடைப்பட்ட காரணியளவும், பரப்பளவு இரு அளவீட்டுக் காரணிகளின் மிகச்சிறிய மற்றும் மிகப்பெரிய பெருக்குத்தொகைகளுக்கிடைப்பட்ட காரணியளவும், கன அளவு மூன்று அளவீட்டுக் காரணிகளின் பெருக்குத்தொகைக் காரணியளவும் மாறுகிறது.

அளவீட்டுக் காரணிகள் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு அளவீடு சீரானதாக இருக்கும் (v_x = v_y = v_z). v_x = v_y = v_z = k எனில் அந்த அளவீட்டால் பரப்பளவு k² மடங்கும், கனவளவு k³ அளவும் அதிகரிக்கும்.

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள்

• Understanding 2D Scaling and Understanding 3D Scaling by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.
• SCALING TRANSFORMATIONS
• Scaling பரணிடப்பட்டது 2016-07-05 at the வந்தவழி இயந்திரம்