ஒரூஉ எண்

இருள் எண்கள்	ஒரூஉ எண்கள்
முதல் 16 ஒரூஉ எண்கள் மற்றும் இருள் எண்கள்

எண் கோட்பாட்டில், ஒரூஉ எண் (odious number) என்பது அதனது இரும எண் வடிவில் ஒற்றை எண்ணிக்கையிலான ஒன்றுகளை ('1') கொண்டதொரு நேர்ம முழுவெண்ணாகும். ஒரூஉ எண்களாக இல்லாத எதிர்மமல்லா முழுவெண்கள் இருள் எண்களென (evil numbers) அழைக்கப்படும்.

கணினியியலில் ஓர் ஒரூஉ எண் ஒற்றை நிகரியுடையதாகக் கொள்ளப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரூஉ எண்கள்: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38 ... ^[1]

பண்புகள்

${\displaystyle n}$வது ஒரூஉ எண்ணின் குறியீடு ${\displaystyle a(n)}$ மற்றும் ${\displaystyle a(0)=1}$ எனில்

${\displaystyle a(a(n))=2a(n)\forall n}$.^[2]

ஒவ்வொரு நேர்ம முழுஎண்ணும் (${\displaystyle n}$) ஓர் ஒரூஉ எண்ணின் மடங்காக அமையும்; அந்த மடங்கின் அளவானது அதிகபட்சம் ${\displaystyle n(n+4)}$ ஆக இருக்கும்.

இரட்டை அடுக்குள்ள மெர்சென் பகாத்தனிகளின் (${\displaystyle n=2^{2r}-1}$: 3, 15, 63, ..) மிகச் சிறிய ஒரூஉ மடங்கு சரியாக ${\displaystyle n(n+4)=2^{4r}+2^{2r+1}-3}$ ஆக இருக்கும்.^[3]

தொடர்புள்ள தொடர்முறைகள்

• இரண்டின் ஒவ்வொரு அடுக்கும் ஒரூஉ எண்ணாகும். ஏனெனில் இரண்டின் அடுக்குகளை இரும வடிவில் எழுதும்போது ஒரேயொரு '1' தான் இருக்கும்.

இரண்டின் அடுக்குகளின் தொடர்முறை: ${\displaystyle 2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4}.....}$

இவற்றின் இரும வடிவம்:

${\displaystyle 2^{0}=1}$

${\displaystyle 2^{1}=2=10}$

${\displaystyle 2^{2}=4=100}$

.....

• 3 தவிர்த்த ஒவ்வொரு மெர்சென் பகாத்தனியும் ஒரூஉ எண்ணாக இருக்கும். ஏனெனில் அவற்றின் இரும வடிவங்கள் தொடர்ச்சியாக ஒற்றைப் பகா எண்ணிக்கையிலான பூச்சியமற்ற இருமங்களைக் ('1') கொண்டிருக்கும்

ஒரூஉ எண்களாக இல்லாத எதிர்மமில்லா முழுவெண்கள் "இருள் எண்"களென அழைக்கப்படுகிறன. ஒரூஉ எண்களும் இருள் எண்களும் சேர்ந்து எதிர்மமில்லா முழுவெண்களை சோடிவாரியான கூட்டுத்தொகையுடைய சமமான இரு பல்கணங்களாகப் பிரிக்கின்றன. இப்பிரிப்பு தனித்துவமானதாக இருக்கும்.^[4]

மேற்கோள்கள்

1. Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A000069 (Odious numbers: numbers with an odd number of 1's in their binary expansion)", நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம், நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சிய அறக்கட்டளை
2. Allouche, J.-P.; Cloitre, Benoit; Shevelev, V. (2016), "Beyond odious and evil", Aequationes Mathematicae, 90 (2): 341–353, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/s00010-015-0345-3, MR 3480513, S2CID 253596104
3. Morgenbesser, Johannes F.; Shallit, Jeffrey; Stoll, Thomas (2011), "Thue–Morse at multiples of an integer", Journal of Number Theory, 131 (8): 1498–1512, arXiv:1009.5357, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/j.jnt.2011.02.006, MR 2793891, S2CID 119309022
4. Lambek, J.; Moser, L. (1959), "On some two way classifications of integers", Canadian Mathematical Bulletin, 2 (2): 85–89, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4153/CMB-1959-013-x, MR 0104631

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Odious Number", MathWorld.