டேக்கார்ட் எண்

கணிதத்தின் எண் கோட்பாட்டில் ஒரு ஒற்றை எண்ணின் பகுகாரணிகளில் ஒன்று பகா எண்ணாக இருந்திருந்தால், அவ்வெண் ஒற்றை நிறைவெண்ணாக இருக்கக்கூடிய சாத்தியக்கூறுடையதாக இருப்பின் அந்த ஒற்றையெண் டேக்கார்ட் எண் (Descartes number) எனப்படும். இத்தகைய பண்புடைய எண் 198585576189 ஐக் கண்டறிந்த கணிதவியலாளர் ரெனே டேக்கார்ட்டின் பெயரால் இவ்வெண்கள் டேக்கார்ட் எண்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த ஒரு எண்ணைத் தவிர, இவ்வகை எண்களுக்கான வேறு எடுத்துக்காட்டுகள் எதுவும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை.

D = 3²⋅7²⋅11²⋅13²⋅22021 = (3⋅1001)²⋅(22⋅1001 − 1) = 198585576189 என்ற எண் அதன் பகுகாரணியான 22021 ஆனது பொய்யாக பகா எண்ணாக கருதப்பட்டால் மட்டுமே 198585576189 ஒரு நிறைவெண்ணாக இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு எண்

D நிறைவெண் எனில் அதன் வகுஎண் சார்பு ${\displaystyle \sigma (D)=2D}$ ஆக இருக்கும்.

D = 198585576189 என எடுத்துக்கொண்டால்:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}}$

19²⋅61 = 22021 ஆக இருப்பதால் 22021 பகு எண்ணே. இருப்பினும் 22021 ஐப் பொய்யான ஒரு பகாஎண்ணாகக் கருதியே மேலுள்ள முடிவு பெறப்பட்டுள்ளது. அதாவது 22021 ஐப் பொய்யான ஒரு பகாஎண்ணாகக்${\displaystyle \sigma (198585576189)=2.198585576189}$ என்பது நிறுவப்படுள்ளது. எனவே 198585576189 ஒரு டேக்கார்ட் எண்.

மேற்கோள்கள்

• Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). "Descartes numbers". In De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (eds.). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 167–173. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004.
• Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. The Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 11. Washington, DC: Mathematical Association of America. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-88385-315-9. Zbl 0784.51002.