தொடு சரிவகம்

தொடு சரிவகம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலில், தொடு சரிவகம் அல்லது சூழ்தொடு சரிவகம் (tangential trapezoid, circumscribed trapezoid) என்பது உள்ளமைந்த ஒரு வட்டத்துக்கு நான்கு பக்கங்களும் தொடுகோடாக அமைந்த ஒரு சரிவகமாகும். தொடு சரிவகங்கள், தொடு நாற்கரங்களில் குறைந்தது ஒரு சோடி இணை பக்கங்களுடைய ஒரு சிறப்பு வகை. பொதுவாக, சரிவகங்களின் இணை பக்கங்கள் இரண்டும் அடிப்பக்கங்கள் எனவும், மற்ற இரு பக்கங்கள் தாங்கிகள் எனவும் அழைக்கப்படும். தாங்கிப் பக்கங்கள் இரண்டும் சமமாக இருந்தால் அச்சரிவகம், இருசமபக்க சரிவகம் எனப்படும்.

சிறப்பு வகைகள்

சாய்சதுரங்களும் சதுரங்களும் தொடு சரிவகங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்..

பண்புகள்

தொடு நாற்கரம் ABCD இன் உள்வட்டமானது AB, CD ஆகிய இரு பக்கங்களை முறையே W, Y புள்ளிகளில் தொடுகிறது எனில்:

${\displaystyle AW\cdot DY=BW\cdot CY}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் AB, CD பக்கங்களை இணை பக்கங்களாகக்கொண்ட (அடிப்பக்கங்கள்) ஒரு சரிவகமாகவும் இருக்கும்.^{[1]:Thm. 2} மேலும்,

${\displaystyle AW\cdot BW=CY\cdot DY.}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, AD, BC பக்கங்களை இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகமாகவும் இருக்கும்.

பரப்பளவு

சரிவகத்தின் பரப்பளவின் வாய்பாட்டை பீட்டோ தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சுருக்குவதன்மூலம் தொடு சரிவகத்தின் பரப்பளவுக்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

தொடு சரிவகத்தின் இணை பக்கங்களின் நீளங்கள் a, b; மற்ற இரு பக்கங்களில் ஒன்றின் நீளம் c எனில், பரப்பளவின் (K) வாய்பாடு:^[2]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.}$

தொடுகோட்டு நீளங்கள் e, f, g, h மூலம் பரப்பளவின் வாய்பாட்டை எழுதலாம்:^[3]:p.129

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

உள்வட்ட ஆரம்

உள்வட்ட ஆரத்தின் வாய்பாடு:^[2]

${\displaystyle r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.}$

உள்வட்டத்தின் விட்டம், தொடு சரிவகத்தின் உயரத்திற்குச் சமம்.

தொடுகோட்டு நீளங்களின் வாயிலாகவும் உள்வட்ட ஆரத்தின் வாய்பாட்டை எழுதலாம்:^[3]:p.129

${\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}.}$

மேலும், தொடுகோட்டு நீளங்கள் e, f, g, h நான்கும் முறையே A, B, C, D உச்சிகளிலிருந்து தொடங்குபவையாகவும், AB, DC இணையாகவும் இருந்தால்:^[1]

${\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.}$

உள்வட்ட மையத்தின் பண்புகள்

தொடு சரிவகத்தின் அடிப்பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் P, Q எனில், P, I (உள்வட்ட மையம்), Q மூன்றும் ஒரேகோட்டில் அமையும்.^[4]

தொடு சரிவகம் ABCD இன் அடிப்பக்கங்கள் AB, DC எனில், AID and BIC கோணங்கள் இரண்டும் செங்கோணங்கள்.^[4]

தொடு சரிவகத்தின் தாங்கி பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நடுக்கோட்டின் மீது உள்வட்ட மையம் அமையும்.^[4]

பிற பண்புகள்

தொடு சரிவகத்தின் தாங்கி பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நடுக்கோட்டின் நீளம், சரிவக்கத்தின் சுற்றளவில் நான்கில் ஒரு பங்காகவும், அடிப்பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியாகவும் இருக்கும்.

தொடு சரிவகத்தின் இரு தாங்கி பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றையும் விட்டமாகக்கொண்டு இரு வட்டங்கள் வரையப்பட்டால், அவ்விரு வட்டங்களும் ஒன்றையொன்று தொடும்.^[5]

நேர் தொடுசரிவகம்

நேர் தொடுசரிவகம்.

ஒரு தொடுசரிவகத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள் செங்கோணங்களாக இருந்தால் அச்சரிவகம் நேர் தொடுசரிவகம் என அழைக்கப்படும். ஒரு நேர் தொடுசரிவகத்தின் அடிப்பக்க நீளங்கள் a, b எனில் அதன் உள்வட்ட ஆரம்:^[6]

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}.}$

அதாவது நேர் தொடுசரிவகத்தின் உள்வட்டத்தின் விட்டமானது சரிவகத்தின் அடிப்பக்கங்களின் இசைச் சராசரியாக இருக்கும்.

நேர் தொடுசரிவகத்தின் பரப்பளவு:^[6]

${\displaystyle \displaystyle K=ab}$

நேர் தொடுசரிவகத்தின் சுற்றளவு P:^[6]

${\displaystyle \displaystyle P=2(a+b).}$

இருசமபக்கத் தொடுசரிவகம்

ஒவ்வொரு இருசமபக்கத் தொடுசரிவகமும் இரு மைய நாற்கரமாகும்.

ஒரு தொடுசரிவகத்தின் தாங்கி பக்கங்கள் இரண்டும் சமமெனில் அது இருசமபக்கத் தொடுசரிவகமாகும். இருசமபக்க சரிவகம் வட்ட நாற்கரமாக இருக்கும். எனவே, ஒரு இருசமபக்க தொடுசரிவகமானது இரு மைய நாற்கரமாகும். அதாவது அதற்கு உள்வட்டமும் சுற்று வட்டமும் உண்டு.

அடிப்பக்க நீளங்கள் a, b எனில், உள்வட்ட ஆரம்:^[7]

${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.}$

அடிப்பக்க நீளங்கள் a, b எனில், பரப்பளவு K:^[8]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).}$

மேற்கோள்கள்

1. Josefsson, Martin (2014), "The diagonal point triangle revisited" (PDF), Forum Geometricorum, 14: 381–385.
2. H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
3. Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.
4. "Problem Set 2.2". jwilson.coe.uga.edu. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-02-10.
5. "Empire-Dental - Здоровая и счастливая улыбка!". math.chernomorsky.com. Archived from the original on 2021-12-20. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-02-10.
6. "Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPS". artofproblemsolving.com. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-02-10.
7. "Inscribed Circle and Trapezoid | Mathematical Association of America". www.maa.org. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2022-02-10.
8. Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.