மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரைபடம்

கணிதத்தில் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு (least integer function) என்பது மெய்யெண்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டதொரு சார்பு. இச்சார்பின் கீழ் ஒரு மெய்யெண் x இன் சார்பலன் அம்மெய்யெண்ணை விடப் பெரிய முழுஎண்களுக்குள் மிகச்சிறிய முழுஎண் ஆகும்.^[1]. மேல்மட்டச் சார்பு (ceiling function) எனவும் இச்சார்பு அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு ${\displaystyle \lceil x\rceil .}$ எடுத்துக்காட்டாக,

• ${\displaystyle \lceil 3.1\rceil =4}$
• ${\displaystyle \lceil -3\rceil =-3}$
• ${\displaystyle \lceil -3.1\rceil =-3}$

குறியீடு

கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ் இருபடி நேர்எதிர்மை -குறித்த தனது மூன்றாவது நிறுவலில் (1808) மீப்பெரு முழுஎண் சார்புக்கு சதுர அடைப்புக் குறியீட்டைப் (${\displaystyle [x]\,}$) பயன்படுத்தினார்^[2] கென்னத் இ. ஐவர்சன் 1962 ஆம் ஆண்டு மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு மற்றும் மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஆகிய இரு சார்புகளையும், மற்றும் அவற்றின் குறியீடுகளாக ${\displaystyle \lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ ஆகிய இரண்டையும் அறிமுகப்படுத்தும்வரை இக்குறியீடே பயன்படுத்தப்பட்டு வந்தது^[3][4][5]. தற்போது இருவிதமான குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.^[6]

வரையறையும் பண்புகளும்

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

ஓரலகு நீளமுள்ள பாதி திறந்த இடைவெளியில் ஒரேயொரு முழுஎண் மட்டுமே இருக்கும் என்பதால், x என்ற மெய்யெண்ணுக்கு,

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;}$

என்றவாறு m , n என இரு தனித்த முழுஎண்கள் அமைகின்றன. இதனைப் பயன்படுத்தி மீச்சிறு முழுஎண் சார்பின் வரையறையைப் பின்வருமாறும் கூறலாம்:

${\displaystyle \;\lceil x\rceil =n\;}$

• ${\displaystyle \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n\;}$ (n ஒரு முழு எண்)
• ${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leq \;\lceil x+y\rceil \;\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \;}$ (x, y இரு மெய்யெண்கள்)
• ${\displaystyle {\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }=\lceil x\rceil }$ (மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு ஒரு தன்னடுக்குச் சார்பு)

மீப்பெரு முழுஎண் சார்புடன் தொடர்பு

• ${\displaystyle \lceil x\rceil \geq \lfloor x\rfloor \,}$

x முழு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இதில் சமக்குறி உண்மையாகும். அதாவது:

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}\,}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\lceil -x\rceil +\lfloor x\rfloor &=0\\\lceil -x\rceil &=-\lfloor x\rfloor \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}\,}$

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}\,}$

• ${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}\,}$

தொடர்ச்சி

மீச்சிறு முழுஎண் சார்பு தொடர்ச்சியான சார்பல்ல; எனினும் அது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் துண்டுவாரி மாறிலிச் சார்பாகவும் அமையும். கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் தரப்பட்டுள்ள வரைபடத்திலிருந்து இவ் விவரத்தைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்

1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
2. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
3. e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's.
4. Iverson, p. 12.
5. Higham, p. 25.
6. See the Wolfram MathWorld article.

வெளி இணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Floor function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
• Weisstein, Eric W., "Floor Function", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Ceiling Function", MathWorld.