வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு

பாலே கோட்டுரு (வரிசை 13,) srg(13,6,2,3) அளபுருக்கள் கொண்டஒரு வலிமையான கோட்டுரு.

கோட்டுருவியலில் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு (strongly regular graph) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

G = (V, E) ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுரு; அதன் முனைகளின் எண்ணிக்கை: v; அதன் படி: k. கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவுசெய்யும்விதத்தில் λ, μ ஆகிய முழு எண்களைக் காண முடிந்தால் G ஒரு "வலிமையான கோட்டுரு"வாக இருக்கும்:

• எந்தவிரு அடுத்துள்ள முனைகளுக்கும் λ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.
• எந்தவிரு அடுத்தல்லாத முனைகளுக்கும் μ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.

இந்த வகையான வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவானது srg(v, k, λ, μ) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 1963 இல் இந்திய அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான இராஜ் சந்திர போசு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவை அறிமுகப்படுத்தினார்.^[1]

சில கோட்டுருக்கள் மிகஎளிய வலிமையான கோட்டுருக்களாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சமவளவுடைய முழுக்கோட்டுருக்களின் பொதுவற்ற ஒன்றிப்புக் கோட்டுருக்கள், அவற்றின் நிரப்பு கோட்டுருக்கள், சமவளவுள்ள சாரா கணங்கள் கொண்ட அனைத்து பல்கூறு கோட்டுருக்கள் ஆகியவை "மிகஎளிய" வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகும் இவை போன்ற மிகஎளிய வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களைச் சில கணிதவியலாளர்கள் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகக் கொள்வதில்லை.^[2][3]

• ஒரு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின் இன் நிரப்பு கோட்டுருவும் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.

வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு srg(v, k, λ, μ) இன் நிரப்பி: srg(v, v−k−1, v−2−2k+μ, v−2k+λ).

• μ ≠ 0 எனில், வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு 2 அலகு விட்டம் கொண்ட "தொலைவு-ஒழுங்கு கோட்டுரு"வாக இருக்கும்.
• λ = 1 எனில் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு "இடஞ்சார் நேர்கோட்டு கோட்டுரு"வாக இருக்கும்.

பண்புகள்

அளபுருக்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு

srg(v, k, λ, μ) இல் உள்ள நான்கு அளபுருக்களும் ஒன்றுக்கொன்று சாராதவை அல்ல; அவை நான்கும் கீழுள்ள தொடர்பை நிறைவு செய்பவையாக இருக்கும்:

${\displaystyle (v-k-1)\mu =k(k-\lambda -1)}$

விளக்கம்:

• கோட்டுருவின் முனைகள் (v) மூன்று நிலைகளில் அமைந்தவையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

1. ஏதாவதொரு முனையை வேராக எடுத்துக்கொள்ளலாம்.
2. அந்த வேர் முனையின் ${\displaystyle k}$ அண்மை முனைகளை நிலை-1 இல் உள்ளவையாகக் கொள்ளலாம்.
3. ஏனைய பிற முனைகள் அனைத்தும் (${\displaystyle (v-k-1)}$) நிலை-2 இல் இருப்பவையாகக் கொள்ளலாம்.

• நிலை-1 இலுள்ள முனைகள் எல்லாம் வேர் முனையுடன் நேரிடையாக இணைக்கப்பட்டிருக்கும். எனவே அவை வேர் முனையுடன் பொதுவானவையாக λ அண்மைமுனைகளைக் கொண்டிருக்கும். மேலும் இந்த λ பொது முனைகளும் நிலை-1 இல் அமைந்திருக்கும். இவற்றில் ஒவ்வொரு முனையின் படியும் k என்பதால் நிலை-1 இலுள்ள ஒவ்வொரு முனை நிலை-2 இலுள்ள முனைகளோடு இணைக்கும் வகையில் ${\displaystyle k-\lambda -1}$ விளிம்புகள் இருக்கும்.

எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை:

${\displaystyle k\times \ (k-\lambda -1)}$

• நிலை-2 இலுள்ள முனைகள் வேர்முனையோடு நேரிடை இணைப்பில்லாதவை. எனவே அவற்றுக்கு வேர்முனையுடன் பொதுவானவையாக μ முனைகள் இருக்கும். மேலும் அவை நிலை-1 அமைந்திருக்கும். நிலை 2 இலுள்ள முனைகளின் எண்ணிக்கை ${\displaystyle (v-k-1)}$ ஆகும்; அவை நிலை-1 இலுள்ள μ முனைகளுடன் இணைக்கப்பட்டிருக்கும்.

எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை:

${\displaystyle (v-k-1)\times \mu }$.

• இரண்டு விதமாகக் கணக்கிடப்பட்ட விளிம்புகளின் (நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகள்) எண்ணிக்கைகளைச் சமப்படுத்த நான்கு அளபுருக்களுக்கு இடையுள்ள தொடர்பு கிடைக்கிறது:

${\displaystyle k(k-\lambda -1)=(v-k-1)\mu }$

அண்மை அணி

I என்பது முற்றொருமை அணி; J ஒன்றுகளின் அணி; இரண்டின் வரிசையும் v. ஒரு வலிமையான கோட்டுருவின் அண்மை அணி A பின்வரும் இரு சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும்:

முதற்சமன்பாடு:

${\displaystyle AJ=JA=kJ,}$

இது ஒரு கோட்டுரு ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருப்பதற்கான தேவையின் மிக எளிய மாற்றுக் கூற்றாக உள்ளது. இதன்படி, அண்மை அணியின் ஐகென் மதிப்பு k

இரண்டாவது சமன்பாடு:

${\displaystyle {A}^{2}=k{I}+\lambda {A}+\mu ({J-I-A})}$

இது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவுக்கான தேவையைக் காட்டும் இருபடிச் சமன்பாடு.

• இடப்புற அணியின் ij-ஆவது உறுப்பு, i இலிருந்து j க்குள்ள இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
• வலதுபக்க முதல் உறுப்பு i இலிருந்து i க்குச் செல்லும் தன்பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
• i மற்றும் j இரண்டிற்கும் நேரடி இணைப்புள்ளபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க இரண்டாவது உறுப்பு தருகிறது.
• i மற்றும் j இரண்டிற்கும் இடையே நேரடி இணைப்பு இல்லாதபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க மூன்றாவது உறுப்பு தருகிறது.
• இம்மூன்று வகைகளும் ஒன்றுக்கொன்று பொதுமையற்றவையாகவும் அமையக்கூடிய அனைத்து பாதைகளையும் உள்ளடக்கியவையாகவும் உள்ளதால் இம்மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் இடப்புற மதிப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

மறுதலையாக, ஒரு கோட்டுருவின் அண்மை அணி மேற்கூறிய இரு கட்டுப்பாடுகளையும் நிறைவு செய்வதோடு, அக்கோட்டுரு முழுக்கோட்டுரு அல்லது வெற்று கோட்டுருவாக இல்லாமல் இருந்தால் அது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.^[4]

ஐகென் மதிப்புகள்

வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின் அண்மை அணிக்கு மூன்று ஐகென்மதிப்புகள் மட்டுமே இருக்கும்:

• k, இதன் [[மடங்கெண் 1
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(\lambda -\mu )+{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\right],}$ இதன் மடங்கெண் ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(v-1)-{\frac {2k+(v-1)(\lambda -\mu )}{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}}\right]}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(\lambda -\mu )-{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}\right],}$ இதன் மடங்கெண் ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[(v-1)+{\frac {2k+(v-1)(\lambda -\mu )}{\sqrt {(\lambda -\mu )^{2}+4(k-\mu )}}}\right]}$

மறுதலையாக, மூன்று ஐகென் மதிப்புகள் மட்டுமுள்ள இணைப்புள்ள ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுருவானது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.^[5]

எடுத்துக்காட்டுகள்

• 
  சுழற்சி கோட்டுரு C5: srg(5, 2, 0, 1)
• 
  பீட்டர்சன் கோட்டுரு: srg(10, 3, 0, 1)
• 
  srg(16, 5, 0, 2)
• 
  சிறீகான்டே கோட்டுரு: srg(16, 6, 2, 2)
• 
  சாங் கோட்டுருக்கள்: srg(28, 12, 6, 4)
• 
  ஸ்காலஃப்லி கோட்டுரு: srg(27, 16, 10, 8)^[6]

குறிப்புகள்

1. https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103035734, R. C. Bose, Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs, Pacific J. Math 13 (1963) 389–419. (p. 122)
2. Brouwer, Andries E; Haemers, Willem H. Spectra of Graphs. p. 101 பரணிடப்பட்டது 2012-03-16 at the வந்தவழி இயந்திரம்
3. Godsil, Chris; Royle, Gordon. Algebraic Graph Theory. Springer-Verlag New York, 2001, p. 218.
4. Cameron, P.J.; van Lint, J.H. (1991), Designs, Graphs, Codes and their Links, London Mathematical Society Student Texts 22, Cambridge University Press, p. 37, ISBN 978-0-521-42385-4
5. Godsil, Chris; Royle, Gordon. Algebraic Graph Theory. Springer-Verlag, New York, 2001, Lemma 10.2.1.
6. Weisstein, Eric W., "Schläfli graph", MathWorld.

மேற்கோள்கள்

• A.E. Brouwer, A.M. Cohen, and A. Neumaier (1989), Distance Regular Graphs. Berlin, New York: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-540-50619-5, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-50619-5
• Chris Godsil and Gordon Royle (2004), Algebraic Graph Theory. New York: Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-95241-1

வெளியிணைப்புகள்

• Eric W. Weisstein, Mathworld article with numerous examples.
• Gordon Royle, List of larger graphs and families.
• Andries E. Brouwer, Parameters of Strongly Regular Graphs.
• Brendan McKay, Some collections of graphs.
• Ted Spence, Strongly regular graphs on at most 64 vertices.