வெளி-தொடு நாற்கரம்

வெளி-தொடு நாற்கரம் ABCD

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் வெளி-தொடு நாற்கரம் (ex-tangential quadrilateral or exscriptible quadrilateral.^[1] ) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரம். இந்நாற்கரத்துக்கு வெளியே அமையும் ஒரு வட்டத்திற்கு இதன் நான்கு பக்கங்களின் நீட்சிகளும் தொடுகோடுகளாக அமையும்.^[2] அவ்வட்டம், நாற்கரத்தின் வெளிவட்டம் எனவும் அதன் ஆரம் வெளிஆரம் எனவும், மையம் வெளிவட்டமையம் (படத்தில் -E ) எனவும் அழைக்கப்படும். நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் நீட்டிக்கப்படும் இடத்தில் நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கங்களுக்கிடையே உண்டாகும் வெளிக்கோணங்களின் உட்கோண இருசமவெட்டிகள் சந்திக்கும் புள்ளியாக வெளிவட்டமையம் அமையும். வெளி-தொடு நாற்கரம், தொடு நாற்கரத்துடன் நெருங்கிய தொடர்புடையதாக இருக்கும்.

சிறப்பு வகைகள்

பட்டங்கள் வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகும். இணைகரங்களை (சதுரங்கள், சாய்சதுரங்கள், செவ்வகங்கள்) வெளிவட்ட ஆரத்தை முடிவிலியாகக் கொண்ட வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகக் கருதலாம். ஏனெனில் இணைகரங்கள், கீழே தரப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்தாலும் அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாக உள்ளதால் அவ்விணை பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள் வெளிவட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளாக அமையாது. கூட்டுத் தொடராக அமையும் பக்க நீளங்களைக் கொண்ட குவிவு நாற்கரங்கள் கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்வதால், வெளி-தொடு நாற்கரங்களாக அமையும்.

பண்புகள்

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தில், ஒரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றொரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த நாற்கரம், ஒரு வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும்.

அதாவது நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் a, b, c, d -எனில்:

${\displaystyle a+b=c+d\,}$ அல்லது ${\displaystyle a+d=b+c\,}$

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும்.

இதனை 1846-ல் ஜேக்கப் ஸ்டீனர் நிரூபித்துள்ளார்.^[3] இவ்விரண்டு கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணையாக, எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் வித்தியாசங்களின் தனிமதிப்புகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் எனவும் கூறலாம்.

${\displaystyle |a-c|=|b-d|\,}$

இம்முடிவு, தொடு நாற்கரங்களின் பிட்டாட் தேற்றத்திற்குச் சமானமானதாக உள்ளது. பிட்டாட் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமமாக இருக்கும்.

உர்க்கார்ட்டின் தேற்றம்

ஒரு குவிவு நாற்கரம் ABCD -ன் எதிரெதிர் பக்கங்கள் E மற்றும் F புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொண்டால்:

${\displaystyle AB+BC=AD+DC\,\,\Leftrightarrow \,\,AE+EC=AF+FC.}$

வெகு காலத்துக்கு முன்பே 1841-ல் அகஸ்டஸ் டி மார்கனால் வலதுபக்க முடிவு நிரூபிக்கப்பட்டிருந்தாலும் அது எல். எம். உர்க்கார்ட்டின் (1902-1966) பெயராலேயே அழைக்கப்படுகிறது. நேர்கோடுகளையும் தூரங்களையும் மட்டுமே கருத்தில் கொண்டுள்ளதால் இதனை டானியல் பீடோ யூக்ளிடின் வடிவவியலின் மிகவும் எளிய அடிப்படையான தேற்றம் என அழைத்தார். ^[4]

பரப்பு

வெளி-தொடு நாற்கரம் ABCD -ன் பக்கங்கள் a, b, c, d எனில் அதன் பரப்பு:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

இது தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டைப் போன்றே உள்ளதைக் காணலாம். இதனை பிரெட்ஷ்னீடர் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம்.

வெளி-இருமைய நாற்கரம்

ஒரு வெளி-தொடுநாற்கரத்திற்கு ஒரு சுற்றுவட்டமும் இருந்தால் அது வெளி-இரு மைய நாற்கரம் (ex-bicentric quadrilateral) என அழைக்கப்படும்..^[2] இதற்கு இரண்டு எதிர் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் உள்ளதால் இதன்பரப்பு:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

விளக்கம்

வெளி தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் என்பதால்:

${\displaystyle B+D=\pi \,}$

${\displaystyle {\frac {B+D}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {B+D}{2}}=\sin {\frac {\pi }{2}}=1}$

எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் பரப்பு:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

இதுவே இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பும் ஆகும்.

சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் வெளிவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம் x எனில்:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{\rho ^{2}}},}$

இங்கு R -சுற்றுவட்ட ஆரம்; ${\displaystyle \rho }$ - வெளிவட்ட ஆரம்.

இச்சமன்பாடு இரு மைய நாற்கரத்தின் ஃபஸ் தேற்றத்தின் சமன்பாடுதான். ஆனால் x -ன் தீர்வு காணும்போது, இரு மைய நாற்கரத்திற்கு போலல்லாமல் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மற்றொரு மூலத்தை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்திற்கு:^[2]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+\rho ^{2}+\rho {\sqrt {4R^{2}+\rho ^{2}}}}}.}$

இவ்வாய்ப்பாட்டிலிருந்து:

${\displaystyle \displaystyle x>R+\rho ,}$

இம்மதிப்பிலிருந்து வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டமும் வெளிவட்டமும் ஒருபோதும் வெட்டிக்கொள்ளாது என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.

மேற்கோள்கள்

1. Bogomolny, Alexander, "Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [1]. Accessed 2011-08-18.
2. Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) pp. 33-52.
3. F. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.
4. Mowaffaq Hajja, A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry, Forum Geometricorum Volume 6 (2006) pp. 167–169 [2]