การดำเนินการพีชคณิต

สูตรกำลังสองสำหรับการแก้สมการกำลังสอง มีการดำเนินการพีชคณิตครบทุกอย่าง

การดำเนินการพีชคณิต หมายถึงการดำเนินการอย่างหนึ่งอย่างใดของการบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลังด้วยตวยเมสานุนปังจำนวนเต็ม และการถอดราก (การยกกำลังด้วยเศษส่วน) การดำเนินการพีชคณิตกระทำบนตัวแปรเชิงพีชคณิต พจน์เชิงพีชคณิต หรือนิพจน์เชิงพีชคณิต ^[1] และทำงานได้เหมือนกับการดำเนินการเลขคณิต ^[2]

สัญกรณ์

สัญลักษณ์การคูณมักจะถูกละไว้ และบอกเป็นนัยว่าเมื่อตัวแปรสองตัวแปร หรือพจน์สองพจน์ หรือเมื่อมีสัมประสิทธิ์ ไม่มีตัวดำเนินการระหว่างกลาง จะถือว่าเป็นการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 × x² จะเขียนเป็น 3x² และ 2 × x × y จะเขียนเป็น 2xy เป็นต้น ^[3] บางครั้งสัญลักษณ์การคูณก็ถูกเปลี่ยนเป็นจุดหรือจุดกลาง ดังนั้น x × y อาจจะเขียนเป็น x . y หรือ x · y ก็ได้ สำหรับข้อความธรรมดา ภาษาโปรแกรม และเครื่องคิดเลข ก็ใช้ดอกจันหนึ่งตัวแทนสัญลักษณ์การคูณและต้องแสดงให้เห็นชัดเจน ตัวอย่างเช่น 3x จะเขียนเป็น 3 * x ^[4]

สัญลักษณ์การหารแทนที่จะใช้ออเบอลุส (obelus, ÷) ก็มักใช้วิงคิวลัม (vinculum) คือเส้นตรงแนวนอนแทน เช่น 3/x + 1 สำหรับข้อความธรรมดา ภาษาโปรแกรม และเครื่องคิดเลข ก็ใช้ทับหรือซอลิดุส (solidus, /) แทนสัญลักษณ์การหาร เช่น 3 / (x + 1)

เลขชี้กำลังก็มักจะเขียนด้วยรูปแบบตัวยก เช่น x² สำหรับข้อความธรรมดาและภาษามาร์กอัปเท็ก (TeX) ใช้สัญลักษณ์แคริต (caret, ^) แทนการยกกำลังเช่น x ^ 2 ^[5][6] ส่วนภาษาโปรแกรมบางภาษาอย่างเช่น ภาษาเอดา ^[7] ภาษาฟอร์แทรน ^[8] ภาษาเพิร์ล ^[9] ภาษาไพทอน ^[10] และภาษารูบี ^[11] ก็ใช้ดอกจันสองตัวแทนการยกกำลังเช่น x ** 2

เครื่องหมายบวกหรือลบ (±) เป็นสัญกรณ์อย่างย่อสำหรับเขียนนิพจน์สองนิพจน์ในครั้งเดียว โดยนิพจน์หนึ่งใช้เครื่องหมายบวกและอีกนิพจน์หนึ่งใช้เครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น y = x ± 1 หมายถึงสมการสองสมการได้แก่ y = x + 1 และ y = x − 1 บางครั้งก็ใช้แสดงว่าพจน์เป็นบวกหรือลบเช่น

การหาคำของนิพจน์คณิต

การดำเนินการพีชคณิตมีรูปแบบคล้ายคลึงกับการดำเนินการเลขคณิตตามตารางด่านล่างนี้

การดำเนินการ	เลขคณิต ตัวอย่าง	พีชคณิต ตัวอย่าง	หมายเหตุ ≡ – หมายความว่าสมมูลกัน ≢ หมายความว่าไม่สมมูลกัน
การบวก	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ สมมูลกับ ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ สมมูลกับ ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
การลบ	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ สมมูลกับ ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ สมมูลกับ ${\displaystyle b^{2}-b-a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
การคูณ	${\displaystyle 3\times 5}$ หรือ ${\displaystyle 3\ .\ 5}$   หรือ   ${\displaystyle 3\cdot 5}$ หรือ   ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$ หรือ ${\displaystyle a.b}$   หรือ   ${\displaystyle a\cdot b}$ หรือ   ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ ซึ่งเหมือนกันกับ ${\displaystyle a^{3}}$
การหาร	${\displaystyle 12\div 4}$ หรือ   ${\displaystyle 12/4}$ หรือ   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$ หรือ   ${\displaystyle b/a}$ หรือ   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
การยกกำลัง	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ ซึ่งเหมือนกันกับ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

หมายเหตุ: การใช้ ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น สามารถเปลี่ยน ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ ไปเป็นตัวแปรอื่นเช่น ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ ก็ได้

อ้างอิง

1. William Smyth, Elementary algebra: for schools and academies, Publisher Bailey and Noyes, 1864, "Algebraic Operations"
2. Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
3. Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
4. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others, Publisher MAA, 2004, ISBN 0883857367, 9780883857366, page 75
5. Ramesh Bangia, Dictionary of Information Technology, Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153, 9789380298153, page 212
6. George Grätzer, First Steps in LaTeX, Publisher Springer, 1999, ISBN 0817641327, 9780817641320, page 17
7. S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual, Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, ISBN 3540693351, 9783540693352, page 13
8. C. Xavier, Fortran 77 And Numerical Methods, Publisher New Age International, 1994, ISBN 812240670X, 9788122406702, page 20
9. Randal Schwartz, brian foy, Tom Phoenix, Learning Perl, Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140, 9781449313142, page 24
10. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide, Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586, 9781598631586, page 46
11. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code, Publisher No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484, 9781593271480, page 72

ดูเพิ่ม

• พีชคณิตมูลฐาน
• ลำดับการดำเนินการ